Límite que implica la función totiente y la combinación

Question

¿Cree que los siguientes límites son correctos?

$\displaystyle\lim_{d\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^{d} {\varphi(N) \choose k} {d-1 \choose k-1}}{\varphi(N)^d}=0$

$\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^{d} {\varphi(N) \choose k} {d-1 \choose k-1}}{\varphi(N)^d}=c$

He trazado las ecuaciones y he adivinado los resultados según los gráficos, pero no he podido demostrarlos matemáticamente por mí mismo. Se agradecería cualquier sugerencia. Los gráficos son los siguientes:

http://deniz.cs.utsa.edu/plots/

Gracias,

Answer 1

Desde Usuario de MathOverflow JBL :

Tenemos la La identidad de Vandermonde :

$$ \sum_{k=1}^d {\varphi(N) \choose k} {d-1 \choose k-1} = {d + \varphi(N) - 1 \choose d}. $$

Así, con $N$ fijo, el numerador de su fracción es polinómico en $d$ y el resultado es el siguiente (con la excepción de los valores $N = 1, 2$ ).

El segundo resultado se deduce por el mismo análisis, ya que $\varphi(N) \to \infty$ como $N \to \infty$ . En particular, la constante resultante es $\frac{1}{d!}$ .