En tratando de ver cómo de Banach del teorema de punto fijo se vendría abajo en una incompleta espacio, he tratado de llegar con un ejemplo de una función: $f: \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Q} \ \ $tal que $ \forall x,y \in \mathbb{Q}$ nuestra función es contratado con factor de $\frac12$ y no tiene puntos fijos. es decir, $$ \left | {f(x)-f(y)} \right |\leq \frac12 \left | x-y \right | ,\\ \nexists \ \ x^* \in \mathbb{Q} \ \ s.t. \ f(x^*)=x^* \ $ $ Comenzando con $f(x)=x^2-2$ y el uso de Newton-Raphson que fue capaz de construir la siguiente función que funciona $$ f(x) := \left\{\begin{array}{lr} \frac12 (x-1) + \frac32, & \text{for } x < 1\\ \frac12- x^{-2}, & \text{for } 1\leq x\leq 2\\ \frac12 (x-2) + \frac32, & \text{for } x>2 \end{array}\right\}$$
Eso me llevó a pensar que si hubo un bijection que satisfecho con el mismo criterio. Creo que puedo ver por qué uno podría existir, pero no estoy seguro de cómo demostrar que existe necesariamente. También estoy muy interesado en un ejemplo claro de un bijection que funciona.
