Relación entre los módulos de torsión y la topología

Question

Estaba revisando mis notas de clase y encontré lo siguiente:

"El nombre 'torsión' viene de la topología y se refiere a los espacios que se retuercen, por ejemplo, la banda de Möbius"

En nuestros apuntes utilizamos la siguiente definición de elemento de torsión y módulo de torsión: Un elemento m de un módulo R M se llama elemento de torsión si $rm=0$ para algunos $r\in R$ . Un módulo de torsión es un módulo formado únicamente por elementos de torsión

¿Cuál es la relación entre los módulos de torsión y los espacios torcidos? ¿La definición de módulo de torsión está motivada de alguna manera por consideraciones topológicas de los espacios trenzados?

Realmente no veo ninguna conexión obvia. Estoy tomando mi primera clase de topología este semestre, así que me disculpo si esto es algo que se aprende más tarde en cursos como topología algebraica, pero no he podido encontrar ninguna explicación de esto.

Answer 1

Cuando se calculan los grupos de homología de los espacios "torcidos" (que son grupos abelianos), se encuentra (a veces) que contienen elementos de torsión distintos de cero; además, la presencia de estos elementos particulares en la homología se debe a la torsión (en el sentido de que, cuando se calculan los grupos de homología, se ve que es la torsión en el espacio la que hace que el cálculo dé lugar a elementos de torsión).

Como aún no has estudiado topología algebraica, no diré más aquí. Espero que, aunque sea necesariamente vaga, la descripción anterior te dé una idea del significado de la observación de tus notas.

Answer 2

La definición de torsión en módulos es una generalización de la definición de torsión en $\mathbb{Z}$ -módulos, por ejemplo, los grupos abelianos. La torsión en los grupos abelianos se refiere a los elementos de orden finito, y esto a su vez se relaciona con la topología porque a cualquier espacio topológico podemos asociar grupos abelianos llamados (integrales) grupos de homología y la torsión en estos grupos sugiere una especie de "torsión" en el espacio. El ejemplo más sencillo es el de la primera homología integral de superficies cerradas; el grupo tiene torsión si y sólo si la superficie es no orientable, como la Botella Klein .