Para comenzar con, usted puede olvidarse de que el líder plazo, $1$.
Todo lo que término que hace es cambiar todos los valores de un lugar a la derecha
en el número de línea.
La expresión $\pm 2 \pm 3 \pm \cdots \pm n$
tiene el mismo número de valores distintos como $1 \pm 2 \pm 3 \pm \cdots \pm n$.
A partir de este momento y hasta nuevo aviso, voy a considerar sólo las sumas de
la forma $\pm 2 \pm 3 \pm \cdots \pm n$.
Todas las sumas posibles tienen la misma paridad.
El mínimo de la suma es $\sum_{i=2}^n(-i) = -\frac{(n+2)(n-1)}{2}$,
cuando todos los $\pm$ signos
son negativos. La suma de $-\frac{(n+2)(n-1)}{2} + 2$
está claro que no es alcanzable, pero $-\frac{(n+2)(n-1)}{2} + 4$ es,
mientras $n \geq 2$.
Ahora, siempre y cuando la suma incluye dos términos $j - (j+1)$
(positivo seguido por la negativa), podemos cambiar los dos términos a
$-j + (j+1)$ y por lo tanto aumentar la suma por $2$.
Si no existen tales términos, es decir, todos los términos negativos se producen
antes de que cualquiera de los términos positivos, la suma tiene la forma
$$-2 - 3 - \ldots - (j-1) - j + (j+1) + \ldots + n = k \tag1$$
donde $1 \leq j \leq n$. (En el caso de $j = 1$, todos los términos son positivos.)
Ya hemos considerado el caso de $j = n$.
En el caso de $j=1$, la suma tiene el valor máximo,
$\frac{(n+2)(n-1)}{2}$,
y en el caso de $j=2$, la suma tiene el segundo mayor valor posible,
$\frac{(n+2)(n-1)}{2} - 4$.
Ahora supongamos que en lugar de que $3 \leq j \leq n-1$.
A continuación, podemos cambiar la suma en la línea $(1)$ a
$$2 - 3 - \ldots - (j-1) + j - (j+1) + \ldots + n = k + 2.$$
En otras palabras, si $n > 3$, excepto para los valores
$-\frac{(n+2)(n-1)}{2}$,
$\frac{(n+2)(n-1)}{2} - 4$, e $\frac{(n+2)(n-1)}{2}$,
cada valor posible de la suma
(incluyendo $-\frac{(n+2)(n-1)}{2} + 4$)
corresponde a otra suma que es mayor por $2$.
De modo que las sumas posibles son $-\frac{(n+2)(n-1)}{2}$, $\frac{(n+2)(n-1)}{2}$,
y cada entero de la misma paridad de $-\frac{(n+2)(n-1)}{2} + 4$
a $\frac{(n+2)(n-1)}{2} - 4$, inclusive.
El número de enteros en
$\left[-\frac{(n+2)(n-1)}{2}, \frac{(n+2)(n-1)}{2}\right]$
es $(n+2)(n-1) + 1$, y los de la misma paridad
$\frac{(n+2)(n-1)}{2} + 1$.
Así que si $n > 3$, el número total de sumas posibles (excluyendo el
los valores de $-\frac{(n+2)(n-1)}{2}+2$$\frac{(n+2)(n-1)}{2}-2$,
que no son posibles sumas) es
$$\left(\frac{(n+2)(n-1)}{2} + 1\right) - 2 = \frac12(n^2 + n - 4).$$
Por ejemplo, si $n=4$ hay $8$ sumas posibles:
$-9,-5,-3,-1,1,3,5$, e $9$.
Por la inspección, esta fórmula también se da el número de sumas de dinero para $n=3$
(las cantidades son $-5,-1,1,$$5$),
pero el número de sumas de dinero para $n=2$$2$, que no está de acuerdo con
la fórmula; $n=2$ debe ser tratada como un caso especial.
Si modifica la expresión original, haciendo que el primer término de $\pm1$,
es decir, si consideras $\pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm n$,
el mínimo es de $-\frac{n(n+1)}{2}$,
el máximo es de $\frac{n(n+1)}{2}$,
y todos los enteros de la misma paridad entre los valores son
sumas posibles.
