Análisis Real, Folland Problema 6.1.2 $L^p$ espacios

Question

Antecedentes: En este capítulo se trabaja en un fijo de medida de espacio $(X,M,\mu)$. Si $f$ es medible en $X$$0 < p < \infty$, podemos definir $$\|f\|_{L^p} = \left[\int |f|^p d\mu\right]^{1/p}$$ and we define $$L^p(X,M,\mu) = \{f:X\rightarrow \mathbb{C}: f \ \text{is measurable and} \ \|f\|_p <\infty\}$$

Del titular de la Desigualdad - Si $p > 1$ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ $$\|fg\|_{L^1} \leq \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}$$

Teorema 6.8

un.) Si $f$ $g$ son funciones medibles en $X$,$\|fg\|_{L^1}\leq\|f\|_{L^1}\|g\|_{L^\infty}$. Si $f\in L^1$ y $g\in L^{\infty}$, $\|fg\|_{L^1} = \|f\|_{L^1}\|g\|_{L^\infty}$ si y sólo si $|g(x)| = \|g\|_{L^\infty}$.e. en el conjunto donde $f(x)\neq 0$.

b.) $\|\cdot\|_{L^\infty}$ es una norma en $L^{\infty}$.

c.) $\|f_n - f\|_{L^\infty}$ si y sólo si existe $E\in M$ tal que $\mu(E^c) = 0$ $f_n\rightarrow f$ uniformemente en $E$.

d.) $L^{\infty}$ es un espacio de Banach.

e.) Las funciones simples son densos en $L^{\infty}$

Intento de prueba de un.): Deje $(X,M,\mu)$ ser un fijo medir el espacio. Supongamos $f$ $g$ son funciones medibles en $X$. Deje $p\in\{1,\infty\}$ a partir del Titular de la desigualdad se deduce que $$\|fg\|_{L^1}\leq\|f\|_{L^1}\|g\|_{L^\infty}$$ No estoy seguro de si este es lo suficientemente riguroso y no estoy seguro de cómo probar el resto de las partes.

Intento de prueba. b.) Tenemos $$L^{\infty} = L^{\infty}(X,M,\mu) = \{f:X\rightarrow \mathbb{C}: f \ \text{is measurable and } \|f\|_{L^\infty} < \infty\}$$ It is obvious that $\|f\|_{L^\infty} = 0$ iff $f = 0$ a.e. and $\|f\|_{L^\infty} = |c|\|f\|_{L^\infty}$ so now we just need to show that the triangle inequlaity holds in order to prove the claim that $\|\cdot\|_{L^\infty}$ is a norm in $L^{\infty}$. Let $p = \infty$, by Minkowski's inequality it follows that $$\|f + g\|_{L^\infty} \leq \|f\|_{L^\infty} + \|g\|_{L^\infty}$$ así hemos terminado.

Intento de prueba c.) Si $\|f_n - g\|_{L^{\infty}}$$f_n\rightarrow f$$L^{\infty}$. Ahora para $\epsilon > 0$ existe un $N$ tal que $$E_n = \bigcup_{m\geq N}\{|f_m - f| > \frac{1}{b}\}$$ Take $E = \bigcup_{1}^{\infty}E_n$ then clearly $\mu(E^c) = 0$. Now we need to show that $f_n\rightarrow f$ uniformly on $E$ que no estoy exactamente seguro de cómo hacerlo.

Sé que estas son "simples" para probar, pero estoy bastante perdido sobre cómo comenzar con cada uno de estos. Acabo de leer la sección de ayer, así que tal vez sólo tengo que digerirlo más. Cualquier ayuda sería genial, gracias.

Answer 1

Asumiendo que usted está utilizando la esencial supremum norma, he aquí una respuesta a la parte b) y c). Aquí hay un enlace a la wikipedia a la página de la esencial supremum y a continuación la prueba de la parte c) es un enlace a una prueba de que $(L^\infty, \|\cdot\|_\infty)$ es un espacio de Banach.

La prueba de b): Apoyándose en el hecho de que una combinación lineal de esencialmente limitado y funciones integrables es de nuevo esencialmente limitado y integrables (por lo tanto, $L^\infty$ es un espacio vectorial) sólo estamos obligados a verificar que $ess\, \sup |f|$ es de hecho una norma en $L^\infty$ y la métrica inducida por esta norma es completa. Podemos probar, primero, la esencial supremum de que el valor absoluto de un esencialmente limitado y funciones integrables satisface las tres propiedades de una norma.

Lema (por probar, pregunte para más detalles si es necesario): Es importante tener en cuenta que para cualquier $f\in L^\infty$,$|f(x)|\leq \|f\|_\infty$.e. en $X$.

Primero supongamos $\|f\|_\infty=0$. Entonces si $\epsilon >0$ existe $C\geq 0$ tal que $|f(x)|\leq C$ en casi todas partes en $X$ $0\leq C< \epsilon$ desde $\epsilon$ no puede ser una cota inferior del conjunto $\hat{U}_f=\{C\geq 0: |f(x)|\leq C \text{ a.e. on } X\}$. Pero luego tenemos a $|f(x)|\leq C< \epsilon$.e. en $X$, de modo que $|f(x)|<\epsilon$.e. en $X$, lo que implica $f(x)=0$.e. $X$ (desde $\epsilon >0$ fue arbitraria), por lo que el único juego donde $f$ no es cero, es un conjunto de medida cero, entonces por la definición de $L^\infty$ (recuerde que los elementos de $L^\infty$ no son funciones, pero las clases de funciones, donde dos funciones en una clase dada se diferencian sólo en conjuntos de medida cero, pero son idénticos en otro lugar) vemos que $f(x)\equiv 0$, es decir, la clase de funciones de las cuales son cero en casi todas partes. Por lo tanto $\|f\|_\infty=0$ implica $f=0$. La otra dirección es menos trabajo; si $f(x)=0$ en casi todas partes en $X$, entonces se sigue que $0=\inf \{C\geq 0: |f(x)| \leq C \text{ a.e. on }X\}$, lo $\|f\|_\infty=0$. Por lo tanto, hemos demostrado $\|f\|_\infty=0$ si y sólo si $f=0$.

Ahora vamos a $\alpha \in \mathbb{C}$. Queremos mostrar $\|\alpha f\|_\infty = |\alpha | \cdot \| f\|_\infty$ o en otras palabras, $|\alpha | ess\, \sup |f|=ess\, \sup |\alpha f|$. Podemos suponer $\alpha \neq 0$ demás es trivial. Ahora tenga en cuenta, que $$|\alpha f(x)|\leq |\alpha ||f(x)|\leq |\alpha |\cdot \|f\|_\infty \text{ a.e. on } X$$ por lo tanto, por definición, de $ess\, \sup |\alpha f|$ hemos $$\|\alpha f\|_\infty \leq |\alpha |\cdot \|f\|_\infty. $$ Por otro lado, sabemos $$|\alpha f(x)|\leq \|\alpha f\|_\infty \text{ a.e. on } X$$ lo que implica $$| f(x)|\leq \frac{\|\alpha f\|_\infty}{|\alpha|} \text{ a.e. on } X$$ así que por la definición de $ess \, \sup |f|$, tenemos $$\|f\|_\infty \leq \frac{\|\alpha f\|_\infty}{|\alpha|}$$ y por lo tanto $$|\alpha|\|f\|_\infty \leq \|\alpha f\|_\infty$$ esto, junto con la primera desigualdad se demostró muestra que $|\alpha | \cdot \| f\|_\infty = \|\alpha f\|_\infty$.

Ahora queda por demostrar la desigualdad de triángulo, es decir, para $f,g\in L^\infty$ (de nuevo, teniendo en cuenta que estos son las clases de funciones), queremos mostrar, $$\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty.$$ Ahora, sabemos que $|f(x)|\leq \|f\|_\infty$ $|g(x)|\leq \|g\|_\infty$ en casi todas partes en $X$, por lo que $$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \|f\|_\infty+ \|g\|_\infty \text{ a.e. on } X$$ y desde el lado derecho es sólo algunos de los verdaderos número no negativo, se sigue por la definición de $ess \, \sup |f+g|$ que $$\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty.$$

Parte c): La convergencia en $L^\infty$ es la convergencia uniforme en casi todas partes. Más precisamente $$\lim_{n\to \infty} \|f_n-f\|_\infty=0 \iff \exists \, E\in \Sigma \text{ such that } \mu(E^c)=0 \text{ and } (f_n)\to f \text{ uniformly on } E$$

Prueba: Si $\exists \, E\in \Sigma \text{ such that } \mu(E^c)=0 \text{ and } (f_n)\to f \text{ uniformly on } E$, entonces, sabemos que para cualquier $\epsilon >0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon \text{ for all } n\geq N \text{ and all } x\in E.$$ Ahora, desde esta deseamos mostrarles $\lim_{n\to \infty} \|f_n-f\|_\infty=0$. Por la desigualdad anterior, sin embargo, hemos de cualquier $n\geq N$, $$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon \text{ a.e. on } X$$ desde $\mu(E^c)=0$ $E^c$ es en la mayoría de los donde la convergencia uniforme no tiene. Por lo tanto, por la definición de $ess\, \sup |f_n-f|$ hemos $$\|f_n-f\|_\infty <\epsilon$$ for all $n\geq N$. Thus $f_n \a f$ as $n\to \infty$ (in the $L^\infty$ métrica).

Lo contrario va a tomar un poco más de trabajo. Asumimos $\lim_{n\to \infty} \|f_n-f\|_\infty=0$, es decir, para cualquier $\epsilon >0$ existe $N'\in \mathbb{N}$ tal que $n\geq N'$ implica $\|f_n-f\|_\infty <\epsilon$. Esto implica que para cualquier $n\geq N'$, $$|f_n(x)-f(x)|\leq \|f_n-f\|_\infty <\epsilon$$ una.e. en $X$. Deje $M_n=\|f_n-f\|_\infty $ por cada $n\geq N'$ y $$A_n=\{x\in X: |f_n(x)-f(x)|> M_n\}.$$ Dado que la desigualdad anterior, tiene casi todas partes en $X$, está claro que $\mu(A_n)=0$. Deje $A=\cup_{n\geq N} A_n$. A continuación, $\mu(A)=0$ desde una contables de la unión de conjuntos de medida cero en sí es medible y con medida cero. Por último vamos a $E=A^c$ y se deduce que este es el conjunto donde $f_n$ converge uniformemente a$f$$\mu(E^c)=0$, completando la prueba.

Para una prueba de la d), ver L^infinity es un espacio de Banach

Déjeme saber si usted tiene cualquier pregunta o ver una errata que me perdí/etc... Trataré de actualizar pronto con sugerencias para las partes a) y e), pero debo ejecutar ahora... sé e) tiene un teorema análogo para $L^p$ espacios para la prueba no debe ser muy diferente...

Edit 1: La parte a) Aquí es una prueba de la primera reclamación en una), es decir, si $f$ $g$ son medibles y $g$ es esencialmente limitado, a continuación,$\|fg\|_1\leq \|f\|_1\|g\|_\infty$.

Prueba: Recordar el anterior lema que dice $|g(x)|\leq \|g\|_\infty$.e. en $X$ para cualquier esencialmente limitado y medible en función de $g: X\to \mathbb{C}$. Por lo tanto, $$|f(x)||g(x)|\leq |f(x)|\cdot \|g\|_\infty \text{ a.e. on } X.$$ Al integrar sobre todos los de $X$, de forma implícita con el hecho de que si $h$ es una función integrable y $A\subset X$ es un conjunto de medida cero, a continuación,$\int_A h =0$, se obtiene, $$\int_X |f(x)g(x)|d\mu \leq \|g\|_\infty \int_X |f(x)|d\mu$$ es decir,$\|fg\|_1\leq \|f\|_1\|g\|_\infty$.

Edit 2: Ahora para la segunda afirmación: Si $\|fg\|_1=\|f\|_1\cdot \|g\|_\infty$ si y sólo si $|g(x)|=\|g||_\infty$ en el conjunto donde $f(x)\neq 0$.

Prueba: Deje $A=\{x\in X: f(x)\neq 0\}$. Supongamos $|g(x)|=\|g||_\infty$ por cada $x\in A$. A continuación, $$\|fg\|_1=\int_X |f(x)||g(x)|d\mu=\|g\|_\infty \cdot \int_A |f(x)|d\mu = \|g\|_\infty \|f\|_1$$ puesto que la integral es cero en todas partes, además de a $A$, ya que el $f(x)$ es cero en $X\setminus A$.

Yo todavía no puedo entender lo contrario...