cómo solucionar $x^3y′′−xy′+y=0$

Question

He intentado utilizar el método de Frobenius para resolver

$$ x^{3}{\rm y}"\left(x\right) − x\,{\rm y}'\left(x\right) + {\rm y}\left(x\right)=0, $$

pero no funciona. Y la solución de la mayoría de los ser $y_{1} = ax + b$. He intentado también con la primera de cambio de las variables de $\left(~s = 1/x~\right)$, y luego se aplica el poder de la serie de método, pero no me las $y_{1} = ax + b$ solución. ¿Alguien sabe cómo esta ecuación se puede resolver ?.

Answer 1

Otro enfoque: Vamos a

$$y = v x$$

Los derivados son:

$$y' = v + x v', ~~y'' = 2 v' + x v''$$

Sustituir aquellos en la educación a distancia y resolver para $v$ y, a continuación,$y$.

Actualización

El momento de la sustitución, obtenemos:

$$x^4 v'' + x^2(2x - 1) v' = 0$$

Deje $v' = w$, por lo tanto:

$$x^4 w' + x^2(2x-1)w = 0$$

Esto es ahora una ecuación separable, que se obtiene:

$$w(x) = \dfrac{c_1e^{-1/x}}{x^2}$$

Usando este resultado, ahora a resolver para $v$. A partir de la primera sustitución, que hemos tenido, $v' = w$, por lo que podemos integrat ambos lados, produciendo:

$$v(x) = c_1e^{-1/x} + c_2$$

Por último, desde la original de sustitución, tenemos:

$$y(x) = v x = x(c_1e^{-1/x} + c_2)$$