Esta es una propiedad estándar de las localizaciones:
Teorema. Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y sea $S\neq\emptyset$ sea un subconjunto multiplicativo. Sea $M$ ser un $R$ -módulo. Sea $\varphi\colon R\to S^{-1}R$ sea el mapa canónico ( $\varphi(r) = \frac{rs}{s}$ ), e igualmente, por abuso de notación, dejemos que $\varphi\colon M\to S^{-1}M$ sea el mapa natural $(\varphi(m) = \frac{sm}{s}$ con $s\in S$ ).
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Para cada submódulo $N$ de $M$ , $S^{-1}N = \{\frac{a}{s}\mid a\in N\}$ es un submódulo de $S^{-1}M$ .
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Si $L$ es un submódulo de $S^{-1}M$ entonces $\varphi^{-1}(L) = \{m\in M\mid \varphi(m)\in L\}$ es un submódulo de $M$ .
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Si $N$ es un submódulo de $M$ entonces $N\subseteq \varphi^{-1}(S^{-1}N)$ . Además, si $N=\varphi^{-1}(L)$ para algún submódulo $L$ de $M$ entonces $L=S^{-1}N$ .
Prueba. $S^{-1}N$ no es vacía, ya que contiene $\frac{0}{s}$ es cerrado bajo diferencias, ya que $\frac{a}{s}-\frac{b}{t} = \frac{ta-sb}{st}\in S^{-1}N$ si $a,b\in N$ . Y es cerrado bajo la multiplicación escalar, ya que $a\in N$ implica $ra\in N$ para todos $r\in R$ Así que $\frac{r}{t}(\frac{a}{s}) = \frac{ra}{ts}\in S^{-1}N$ si $a\in N$ .
Ahora dejemos que $L$ sea un submódulo de $S^{-1}M$ ya que $\varphi$ es un homomorfismo de módulo, el pullback de un submódulo es un submódulo, por lo que 2 es inmediato.
De nuevo, dejemos que $N$ sea un submódulo de $M$ . Entonces, para cada $a\in N$ tenemos $\varphi(a) = \frac{sa}{s}\in S^{-1}N$ ya que $sa\in N$ Por lo tanto $a\in \varphi^{-1}(S^{-1}N)$ . Supongamos ahora que $N=\varphi^{-1}(L)$ . Si $a\in N$ y $s\in S$ entonces $\frac{a}{s} = \frac{ssa}{sss} = \frac{s}{ss}\frac{sa}{s} =\frac{s}{ss}\varphi(a)\in L$ (ya que $\varphi(a)\in L$ ), por lo que $S^{-1}N\subseteq L$ . A la inversa, dejemos que $\frac{m}{t}\in L$ . Entonces $\frac{tt}{t}\frac{m}{t} = \frac{(tt)m}{tt}=\varphi(m)\in L$ Por lo tanto $m\in \varphi^{-1}(L) = N$ Así que.., $\frac{m}{t}\in S^{-1}N$ , lo que demuestra que $L\subseteq S^{-1}N$ . Por lo tanto, $L=S^{-1}N$ como se ha reclamado. $\Box$
Corolario. Cada submódulo de $S^{-1}M$ es de la forma $S^{-1}N$ para algún submódulo $N$ de $M$ .
