Esta es una propuesta no probada que he encontrado en múltiples lugares.
Supongamos que A es un anillo noetheriano conmutativo, y S un subconjunto multiplicativo de A . Entonces S−1A es noetheriano.
¿Por qué? Pensé en tomar alguna cadena de submódulos S−1M1⊂S−1M2⊂⋯ y tirando hacia atrás a una cadena M1⊂M2⊂⋯ de submódulos de A que eventualmente debe estabilizarse. ¿Hay algo más que esto? Desconfío de asumir que todos los submódulos de S−1A tienen forma S−1M para M≤A .
Esta es una propiedad estándar de las localizaciones:
Teorema. Dejemos que R sea un anillo conmutativo, y sea S≠∅ sea un subconjunto multiplicativo. Sea M ser un R -módulo. Sea φ:R→S−1R sea el mapa canónico ( φ(r)=rss ), e igualmente, por abuso de notación, dejemos que φ:M→S−1M sea el mapa natural (φ(m)=sms con s∈S ).
Para cada submódulo N de M , S−1N={as∣a∈N} es un submódulo de S−1M .
Si L es un submódulo de S−1M entonces φ−1(L)={m∈M∣φ(m)∈L} es un submódulo de M .
Si N es un submódulo de M entonces N⊆φ−1(S−1N) . Además, si N=φ−1(L) para algún submódulo L de M entonces L=S−1N .
Prueba. S−1N no es vacía, ya que contiene 0s es cerrado bajo diferencias, ya que as−bt=ta−sbst∈S−1N si a,b∈N . Y es cerrado bajo la multiplicación escalar, ya que a∈N implica ra∈N para todos r∈R Así que rt(as)=rats∈S−1N si a∈N .
Ahora dejemos que L sea un submódulo de S−1M ya que φ es un homomorfismo de módulo, el pullback de un submódulo es un submódulo, por lo que 2 es inmediato.
De nuevo, dejemos que N sea un submódulo de M . Entonces, para cada a∈N tenemos φ(a)=sas∈S−1N ya que sa∈N Por lo tanto a∈φ−1(S−1N) . Supongamos ahora que N=φ−1(L) . Si a∈N y s∈S entonces as=ssasss=ssssas=sssφ(a)∈L (ya que φ(a)∈L ), por lo que S−1N⊆L . A la inversa, dejemos que mt∈L . Entonces tttmt=(tt)mtt=φ(m)∈L Por lo tanto m∈φ−1(L)=N Así que.., mt∈S−1N , lo que demuestra que L⊆S−1N . Por lo tanto, L=S−1N como se ha reclamado. ◻
Corolario. Cada submódulo de S−1M es de la forma S−1N para algún submódulo N de M .
Dejemos que f:A→S−1A sea el homomorfismo canónico. Es cierto que todo ideal b de S−1A es de la forma S−1a=f(a)(S−1A) para algún ideal a de A . Incluso podemos tomar a=f−1(b) y esto debería ayudarte a probar que S−1A es noetheriano utilizando cadenas crecientes.
Puede encontrar hechos relacionados en la Proposición 6.4 de Milne .
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