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¿Por qué la localización de un anillo noetheriano conmutativo sigue siendo noetheriana?

Esta es una propuesta no probada que he encontrado en múltiples lugares.

Supongamos que A es un anillo noetheriano conmutativo, y S un subconjunto multiplicativo de A . Entonces S1A es noetheriano.

¿Por qué? Pensé en tomar alguna cadena de submódulos S1M1S1M2 y tirando hacia atrás a una cadena M1M2 de submódulos de A que eventualmente debe estabilizarse. ¿Hay algo más que esto? Desconfío de asumir que todos los submódulos de S1A tienen forma S1M para MA .

37voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Esta es una propiedad estándar de las localizaciones:

Teorema. Dejemos que R sea un anillo conmutativo, y sea S sea un subconjunto multiplicativo. Sea M ser un R -módulo. Sea φ:RS1R sea el mapa canónico ( φ(r)=rss ), e igualmente, por abuso de notación, dejemos que φ:MS1M sea el mapa natural (φ(m)=sms con sS ).

  1. Para cada submódulo N de M , S1N={asaN} es un submódulo de S1M .

  2. Si L es un submódulo de S1M entonces φ1(L)={mMφ(m)L} es un submódulo de M .

  3. Si N es un submódulo de M entonces Nφ1(S1N) . Además, si N=φ1(L) para algún submódulo L de M entonces L=S1N .

Prueba. S1N no es vacía, ya que contiene 0s es cerrado bajo diferencias, ya que asbt=tasbstS1N si a,bN . Y es cerrado bajo la multiplicación escalar, ya que aN implica raN para todos rR Así que rt(as)=ratsS1N si aN .

Ahora dejemos que L sea un submódulo de S1M ya que φ es un homomorfismo de módulo, el pullback de un submódulo es un submódulo, por lo que 2 es inmediato.

De nuevo, dejemos que N sea un submódulo de M . Entonces, para cada aN tenemos φ(a)=sasS1N ya que saN Por lo tanto aφ1(S1N) . Supongamos ahora que N=φ1(L) . Si aN y sS entonces as=ssasss=ssssas=sssφ(a)L (ya que φ(a)L ), por lo que S1NL . A la inversa, dejemos que mtL . Entonces tttmt=(tt)mtt=φ(m)L Por lo tanto mφ1(L)=N Así que.., mtS1N , lo que demuestra que LS1N . Por lo tanto, L=S1N como se ha reclamado.

Corolario. Cada submódulo de S1M es de la forma S1N para algún submódulo N de M .

11voto

babubba Puntos 1213

Dejemos que f:AS1A sea el homomorfismo canónico. Es cierto que todo ideal b de S1A es de la forma S1a=f(a)(S1A) para algún ideal a de A . Incluso podemos tomar a=f1(b) y esto debería ayudarte a probar que S1A es noetheriano utilizando cadenas crecientes.

Puede encontrar hechos relacionados en la Proposición 6.4 de Milne .

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