¿Las "líneas de flujo" del "polvo" son geodésicas?

Question

El tensor tensión-energía que representa el "polvo" adopta la forma $$T_{ab} = \rho u_au_b$$ donde $u^a$ es un campo vectorial temporal unitario, es decir, $u^au_a = -1$ . ¿Se deduce necesariamente que en cualquier solución de la ecuación de Einstein con materia en polvo (con $\rho > 0$ en todas partes), que las "líneas de flujo" del polvo, es decir, las curvas integrales de $u^a$ ¿son geodésicas?

Answer 1

Comencemos con el hecho de que el tensor de Einstein (y por tanto $T$ ) no tiene divergencias:

$$\nabla_a T^{ab} = \nabla_a(\rho u^a)u^b + \rho u^a \nabla_a u^b = 0. \tag{1}$$

La expansión de la regla del producto que he elegido es bastante sugerente: en el primer término vemos el término de divergencia que aparece en la ecuación de continuidad, mientras que en el segundo vemos la aceleración covariante de las curvas integrales de $u$ . Físicamente esperamos que ambos términos sean cero; veamos por qué es cierto. Contrayendo esta ecuación con $u_b$ obtenemos (utilizando $u^a u_a = -1$ )

$$ -\nabla_a (\rho u^a) + \rho u^a u_b \nabla_a u^b = 0.$$

Tenga en cuenta que $$u_b \nabla_a u^b = \frac12 \nabla_a (u_b u^b) = \frac12 \nabla_a(-1) = 0;$$ por lo que obtenemos la ecuación de continuidad $$\nabla_a(\rho u^a)=0.$$ Sustituyendo esto por $(1)$ obtenemos $\rho u^a \nabla_a u^b = 0,$ lo que implica la ecuación geodésica $u^a \nabla_a u^b = 0$ donde $\rho \ne 0$ .