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Cómo calcular el $ \int \frac{x^3+x^2}{x^3-1} \mathrm{d}x$

Yo estaba tratando de resolver esta integral:

$$ \int \frac{x^3+x^2}{x^3-1} \mathrm{d}x$$

He hecho los siguientes pasos:

  • División de polinomios: $$ \frac{x^3+x^2}{x^3-1} = \left(1+\frac{x^2+1}{x^3-1}\right)$$
  • Los polinomios de Hermite: $$ \frac{x^2+1}{x^3-1} = \frac{2}{3}\frac{1}{x-1}+\frac{\frac{x}{3}-\frac{1}{3}}{x^2+x+1}$$

Por lo tanto, ahora la integral se convierte en: $$x+\frac{2}{3}\log{|x-1|}+\int \dfrac{\frac{x}{3}-\frac{1}{3}}{x^2+x+1} \mathrm{d}x$$

Pero creo que hay algo mal, no puedo seguir. Alguna idea?

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tonyz Puntos 161

Lo que han hecho hasta ahora es correcto, por lo que $$ \int\frac{x^3+x^2}{x^3-1}dx= x+\frac{2}{3}\log\left|x-1\right|+\frac{1}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}dx. $$ Ahora, para determinar la última integral, queremos tener la derivada del denominador en el numerador, por lo que podemos escribir $$ \int\frac{x-1}{x^2+x+1}dx= \int\frac{\frac{1}{2}(2x+1)-\frac{3}{2}}{x^2+x+1}dx= \frac{1}{2}\log\left|x^2+x+1\right|-\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^2+x+1}. $$

Se puede tomar desde aquí?

6voto

Drew Jolesch Puntos 11

Su trabajo está bien hecho hasta el punto de que terminó.

Ahora sólo tenemos que trabajar con el final de la integral:

$$\int\frac{x^3+x^2}{x^3-1}dx= x+\frac{2}{3}\log\left|x-1\right|+\frac{1}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}dx$$

$$\dfrac 13\int \frac{x - 1}{x^2 + x + 1}dx = \frac 16\int\frac{2x +1}{x^2 + x + 1}dx - \frac 12\int \frac {dx}{x^2 + x + 1} $$ $$= \frac 16\int\frac{2x +1}{x^2 + x + 1}dx - \frac 12\int \frac {dx}{(x+\frac 12)^2 + \frac 34}$$

En la izquierda-más integral en la última línea, tenemos una integral de la forma $$ \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \ln (f(x)) + C$$

En el derecho-más integral en la última línea, tenemos a "completar el cuadrado" y ahora puede utilizar la sustitución de $\tan\theta = \frac{\sqrt 3}2(x + \frac 12)$.

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