Si $\langle f'(x) \cdot v , v \rangle > 0$ $f$ es inyectiva

Question

Pregunta:

Deje $f: U \to \mathbb R^m$ diferenciable en el conjunto convexo $U \subseteq \mathbb R^m$. Si $$\langle f'(x) \cdot v , v \rangle > 0 , \,\,\, \forall\,\, x \in U, v \neq 0 \in \mathbb R^m $$ a continuación, $f$ es inyectiva. Si $f \in C^1$ $f$ es un diffeomorphism de $U$ sobre un subconjunto de a $\mathbb R^m$. Dar un ejemplo de que $U = \mathbb R^m$, pero $f$ no es surjective.

Intento: La idea es mostrar a $$|f(x+v) - f(x)| > 0$$

Como $U$ es convexo y $f$ id diferenciable en a $U$ $[x,x+v] \subseteq U$ cualquier $x, x + v \in U$, por el Valor medio Teorema existe $\theta \in (0,1)$ tal que $$f(x + v) - f(x) = \frac{\partial f}{\partial v}(x + \theta v) = f'(x + \theta v) \cdot v$$

A continuación, $$\langle f(x + v) - f(x) , v\rangle = \langle f'(x + \theta v) \cdot v , v\rangle > 0 $$

y no podía terminar nada.

La segunda parte es o.k.

Los pensamientos?

Edit: no puedo usar el Valor medio Teorema de aquí.

Answer 1

Después de un tiempo me lo imaginé.

Considere la función $$\begin{align}\psi: [0,1] &\to \mathbb R\\ t &\mapsto \langle f(a + tv), v \rangle\end{align}$$

se define a la $[0,1]$, diferenciable con

$$\begin{align}\psi' (t) \cdot v &= \langle f'(a + tv)\cdot v ,v\rangle + \langle f(a+tv),0 \rangle \\ &= \langle f'(a + tv)\cdot v \rangle > 0\end{align} \tag {*}$$

para$v = b -a$, y para todos los $t \in [0,1]$, $\psi$ es estrictamente creciente en este intervalo cerrado. Ahora supongamos que, para $a \neq b$ tenemos $f(a) = f(b)$.

$$\begin{align}\psi (1) - \psi (0) &= \langle f(b), v \rangle - \langle f(a),v \rangle\\&= \langle f(b) - f(a), v \rangle\\ &= 0\end{align}$$

Como $\psi$ es continua y $\psi (1) = \psi (0)$ por el Teorema de Rolle, existe $c \in (0,1)$ tal que $\psi ' (c) = 0$, lo que contradice $(*)$ .Por lo tanto $f(a) \neq f(b)$ y de ello se sigue que $f$ es inyectiva.

Answer 2

Creo que ya ha solucionado el problema. Pick $x, y\in U$, definir su $v=y-x$, y proceder. Tenga en cuenta que $||f(y)-f(x)||\cdot||y-x||>0$. Como usted escogió $x\neq y$, $f$ debe ser inyectiva. Lo siento por mi inglés.