Ideal generado por a$\langle a, b, c \rangle$$\langle a^{15}, b^{16}, c^{17} \rangle$?

Question

Deje $R$ ser un anillos conmutativos con unidad tal que $\langle a, b, c \rangle = 1$. A continuación, mostrar que $\langle a^{15}, b^{16}, c^{17} \rangle = 1$.

Si yo trabajo en $\mathbb{Z}$, puedo argumentar(debido a primer factorización) que gcd no ha cambiado. Pero para general anillo, no tengo ni idea de cómo empezar. Una idea que a pesar de que es escribir $$xa + yb + zc = 1$$ and multiply it $n$-times so that I could get appropriate $^$ n términos, pero el problema con este enfoque es que hay cruz términos que se debía tener cuidado.

Answer 1

Su intuición es buena. Por otra parte, si aumenta la ecuación a un nivel suficientemente alto de energía, todos los de la cruz términos terminará en el ideal generado por a $\{a^{15},b^{16},c^{17}\}$.

Específicamente, por el teorema del binomio, se puede escribir $$1=(xa+yb+zc)^{n}=\sum_{i+j+k=n}\left(x^iy^jz^k{n\choose k}{i+j\choose i}\right)a^ib^jc^k.$$ Vamos a pasar por alto el coeficiente, y se centran en el monomio en $a,\,b$$c$. Tenga en cuenta que si $n\geq 15+16+17$, luego en cada sumando de aquí, al menos uno de los siguientes se tiene: $i\geq 15$ o $j\geq 16$ o $k\geq 17$. Por lo tanto, usted podría factor de al menos uno de $a^{15}$ o $b^{16}$ o $c^{17}$ de cada sumando y luego recoger estos términos para obtener alguna combinación lineal de ellos sumando a $1$. Por lo tanto, sólo levanta la ecuación para la potencia de $15+16+17=48$, ¡y listo!