¿Cuántas permutaciones de las letras en la palabra MISSISSIPPI son palíndromos?

Question

¿Cuántas permutaciones de letras en la palabra "$\bf{MISSISSIPPI}$" son palíndromos?

$\text{Mi Intento}:$ Un palíndromo es una palabra que se lee igual de adelante hacia atrás.

En la palabra "$\bf{MISSISSIPPI}$" hay $\bf{4I\;,4S\;,2P}$ y $\bf{1M}$. Así que hay un total de $11$ letras.

Entonces debe estar en la forma de $-----M-----$,

así que colocamos $\bf{2I\;,2S\;,1P}$ a la izquierda de $M$,

lo cual se puede hacer como $\displaystyle =\frac{5!}{2!\times 2!\times 1} = 30$.

Pero no entiendo por qué no podemos permutar $\bf{2I\;,2S\;,1P}$ a la derecha de $M$?

Answer 1

Permutamos las letras a la derecha de la manera que haga que la palabra de $11$ letras sea un palíndromo.

Por ejemplo, comenzamos con $${\bf-----M-----}.$$ Hay $30$ formas de permutar las dos $\bf{I}$, dos $\bf{S}$ y una $\bf{P}$ que debemos usar a la izquierda. Supongamos que elegimos la cadena $\bf{IPSSI}$ de modo que tengamos $${\bf IPSSIM-----}.$$ Como queremos que la palabra sea un palíndromo, necesitamos usar la cadena $\bf{ISSPI}$ a la derecha, que es simplemente la cadena que usamos a la izquierda pero invertida. En este caso obtenemos $${\bf IPSSIMISSPI}.$$

En general, no necesitamos considerar las permutaciones de las letras a la derecha porque la cadena queda fija una vez que se elige la cadena a la izquierda, por lo que el número de palíndromos es simplemente el número de opciones para la cadena de letras a la izquierda, que es $30$.

Answer 2

Una vez que coloques las letras a la izquierda de $M$, entonces las letras a la derecha quedan fijas. Son las letras a la izquierda en orden inverso

Answer 3

Has descubierto bien la ubicación de la M. Una vez que sabemos eso, solo necesitamos considerar el lado izquierdo ya que una vez que colocamos una letra en el lado izquierdo, la misma letra debe colocarse en el lugar correspondiente en el lado derecho de la M.

Luego hay $5$ lugares con $5$ letras posibles para elegir, es decir, $5!$ combinaciones totales. Sin embargo, tanto la I como la S se repiten (ya que tenemos $2$ de ellas para colocar en el lado izquierdo de la M), para evitar repeticiones, debemos tener $$\frac{5!}{2! \cdot 2!}=\frac{120}{4}=30$$ Entonces hay $30$ palíndromos.

Answer 4

Cuando fijas una letra en el lado izquierdo, digamos P en la primera posición, la última posición se fija con la letra P ya que la palabra debe ser un palíndromo.

Por lo tanto, solo un lado de la letra M puede ser permutado y el otro lado se fija automáticamente, cumpliendo la condición de que la palabra sea un palíndromo.

Entonces, las posibles formas de organizar en un lado son: $$\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!}=\frac{120}{4}=30$$