Necesito mostrar: para una variedad diferenciable $M$, e $Aut(M)$ actúa en $M$, la órbita de un punto de $a\in M$ está abierto en $M$, ayuda por favor.
Respuesta
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Este es un problema local:
El punto clave es demostrar que dado un abrir pelota en $B\subset \mathbb R^n$ y dos puntos de $a,b\in B$, existe un diffeomorphism $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ que es la identidad fuera de $B$ que $f(a)=b$.
Esto puede hacerse mediante la construcción de un adecuado compacta compatible (y por lo tanto completa) campo de vectores en $\mathbb R^n$ y utilizando el flujo que genera.
Los detalles están en Conlon es Diferenciable Colectores, Lema 4.1.14, página 134. [Y esta es tu día de suerte: Google generosamente le permite acceder a esa página y las dos siguientes.]
Como corolario, enseguida se obtiene que el automorphism grupo $Aut(M)$ conectado un colector $M$ actúa transitivamente sobre $M$: la órbita de cualquier punto de $p \in M$ bajo $Aut(M)$ es el conjunto de colector de $M$.
Editar
En Shastri del Elemento de la Topología Diferencial (Corolario 6.3.3, página 166) se encuentran las siguientes increíble generalización :
Dado conectado a un colector $M$ de la dimensión de $\gt 1$ y un entero $k\geq 1$, uno puede enviar cualquier tipo de $k$-elemento subconjunto $\{a_1,...,a_k\}\subset M$ cualquier $k$-elemento subconjunto$\{b_1,...,b_k\}\subset M$ por algunos diffeomorphism $f$$M$, es decir, $f\in Diff(M)$ satisface $f(a_i)=b_i$.
