Es una función armónica o no?

Question

Estoy tratando de resolver una cuestión de si una determinada función es armónica o no. Si sí, debería encontrar su armónica conjugada.

La función es $u = \frac{x}{x^2+y^2}$.

He encontrado que es un armónico de la función mediante el uso de la ecuación de Laplace, pero no estoy seguro. ¿Cómo puedo encontrar su armónica conjugada, por favor ayuda a nadie.

Answer 1

A la función que se armónico de su Laplaciano debe ser igual a cero $$ \Delta f = f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y) = 0 $$ Acabo de comprobarlo $$ f_{xx} = \left(\frac {x}{x^2+y^2}\right)_{xx} = \left [\frac {-x^2+y^2}{\left( x^2+y^2\right)^2}\right]_x = \frac {2x(x^2-3y^2)}{\left( x^2+y^2\right)^3} \\ f_{yy} = \left(\frac {x}{x^2+y^2}\right)_{yy} = \left [-\frac {2xy}{\left ( x^2+y^2\right)^3} \right ]_y = -\frac {2x(x^2-3y^2)}{\left( x^2+y^2\right)^3} $$ lo que significa que $\Delta f = 0$ por lo tanto armónica.

Answer 2

Usted puede hacer esto sin cálculo. Recordemos que un holomorphic función es armónica.

La función $$ f:z\longmapsto \frac{1}{z} $$ es holomorphic, por lo que es armónico.

De ahí que su parte real $$ u:z=x+iy\longmapsto \mbox{Re}f(z)=\mbox{Re}\frac{\bar{z}}{|z|^2}=\frac{\mbox{Re} \bar{z}}{|z|^2}=\frac{x}{x^2+y^2} $$ es armónico.

Y la armónica conjugada de $u$ es $$ v:z=x+iy\longmapsto \mbox{Im} f(z) =\frac{\mbox{Im} \bar{z}}{|z|^2}=-\frac{y}{x^2+y^2}. $$

Answer 3

Si una función $f(z)=u(x,y)+i v(x,y)$,$z=x+iy$$u,v:\mathbb R^2\to\mathbb R$, es holomorphic, también es armónico. Por lo tanto, si usted puede encontrar un $v$, que la de Cauchy-Riemann ecuaciones de espera, es decir: \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x}, \end{align} usted ha encontrado su armónica conjugada.

Si el enchufe en su $u$ en estas ecuaciones, se obtienen dos ecuaciones diferenciales que se puede resolver para obtener su $v$ hasta algunos (arbitraria) de la constante de integración.

Edit: Las ecuaciones que se obtiene en este caso son: \begin{align} \frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{align} Cada uno de estos puede integrar por separado, y se puede conseguir algo como $v(x,y)=v_1(x,y) + f(x)$ a partir de la primera, $v(x,y)=v_2(x,y) + g(y)$ a partir de la segunda ecuación. Las funciones de $f$ $g$ son "constantes" de la integración, lo que usted necesita para que coincida con los términos correspondientes en $v_2$$v_1$, respectivamente.

Edit 2: también Hay una manera de hacerlo sin usar el CR ecuaciones. Yo sabía que leí hace algún tiempo, pero me tomó un buen rato para encontrar de nuevo: William T. Shaw "la Recuperación de Holomorphic Funciones de Su Real o Imaginaria sin el Cauchy--Riemann Ecuaciones" SIAM Modif., 46(4), 717-728.

Usted puede recuperar $f$ por $$f(z)=2u\left( \frac{z+\bar a}{2},\frac{z-\bar a}{2i}\right)-\overline{f(a)}$$ donde $a$ es un punto arbitrario, de tal manera que $f$ es holomorphic en un barrio de $a$, y necesita extender $u$ aquí es la extensión de las $u$$\mathbb C\times\mathbb C$. Por qué funciona, tendrá que leer en el periódico que he citado. (O tal vez la búsqueda de Milne-Thomson método, creo que es más o menos el mismo).