Moverse por la superficie de un cubo

Question

A $3 \times 3$ El cubo se compone de $27$ , $1 \times 1$ cubos. Desplazándote a lo largo de la superficie del cubo más grande, ¿cuántos caminos hay para llegar desde el vértice superior izquierdo más cercano, hasta el vértice inferior derecho más lejano?

Restricciones:

• Sólo puedes moverte a lo largo de la superficie del cubo
• Sólo puedes moverte hacia la derecha, hacia abajo y hacia delante
• Sólo puedes moverte por los bordes de los cubos más pequeños

Answer 1

Nombra las caras del $3\times3$ cubo que toca el inicio A, B y C. Nombra las caras que tocan el vértice final D, E y F. Cualquier camino válido se encuentra dentro de sólo dos de estas caras - una de A, B y C, y una adyacente de D, E y F.

El número de trayectorias que se encuentran totalmente dentro de las caras A y D es $9\choose3$ . (Despliegue las dos caras en una $3\times6$ rectángulo). Del mismo modo, hay $9\choose3$ caminos que se encuentran completamente dentro de las caras A y E, si A y E son adyacentes, etc. Hay 3 formas de elegir una de A, B y C y para cada elección, dos de las caras D, E y F son adyacentes, por lo que este método cuenta $6{9\choose3}$ caminos.

Desgraciadamente, esto cuenta las trayectorias dos veces si comienzan o terminan (pero no ambas) atravesando una arista entera del cubo mayor, y cuenta las trayectorias tres veces si ambos comienzan y terminan atravesando toda una arista del cubo mayor.

El número de trayectorias contadas exactamente dos veces es $3\cdot({6\choose3}-2)+({6\choose3}-2)\cdot3=108$ y el número de caminos contados exactamente tres veces es 6.

En total, pues, hay $6{9\choose3} - 108 - 2\cdot6 = 384$ caminos.

Answer 2

Si está interesado en una solución general, para cualquier $n x n$ cubo, te lo mostraré.

impar $n$ , donde $n$ es el $k^{th}$ impar entero: $\frac{(3n)!}{(n!)^{3}} - 3[2(\frac{(3n-3)!}{((n-1)!)^{3}}) + 6(\frac{(3n-4)!}{((n-1)!)^{2}(n-2)!}) + 6(\frac{(3n-5)!}{(n-1)!((n-2)!)^{2}}) + ... + (\frac{(n+1)!}{(k!)^{2}})(\frac{(n+1)!}{(n-1)!((n-k)!)^{2}})]$

Incluso $n$ , donde $n$ es el $k^{th}$ número entero par: $\frac{(3n)!}{(n!)^{3}} - 3[2(\frac{(3n-3)!}{((n-1)!)^{3}}) + 6(\frac{(3n-4)!}{((n-1)!)^{2}(n-2)!}) + 6(\frac{(3n-5)!}{(n-1)!((n-2)!)^{2}}) + ... + 2(\frac{(n+1)!}{(k)!(k+1)!})(\frac{(n+1)!}{(n-1)!(n-k)!(n-k-1)!})]$

Answer 3

Al principio puedes elegir una de las tres opciones. Una vez que elijas la primera opción no podrás moverte en una dirección hasta que hayas hecho uno de los dos movimientos que puedes hacer al menos tres veces.

Por lo tanto, tenemos que contar los números de nueve dígitos formados por exactamente tres de cada uno de los siguientes dígitos: 1,2,3 de tal manera que no aparezcan los tres dígitos antes de que aparezca el primer tercer dígito, por ejemplo:

1,1,2,2,1,2,3,3,3 funciona pero 1,2,3,1,2,3,1,2,3 no porque no aparecen tres del mismo tipo antes de que aparezcan los tres tipos. Para ello cuenta los números correctos en los que el tercer tipo de número aparece en el cuarto,sexto y séptimo

Answer 4

Como en el triángulo de Pascal, guarda 1 en el vértice inicial, y para cada vértice $a$ conectado a un vértice con un valor almacenado, suma los valores de todos esos vértices conectados y lo almacena en $a$ .

Derecha, abajo y adelante son simplemente la distancia en el gráfico de las aristas y puntos desde el inicio, siendo el vértice inferior derecho el más lejano.

EDITADO DE NUEVO: Cuento 512.

Answer 5

[Nota: Como señala @joriki, esto es incorrecto, aunque quizá sea elegante...]

O mucho más fácil, tomar los 9 pasos requeridos de la siguiente manera, que generará todos los caminos posibles una vez cada uno.

1. Elige una de las tres direcciones iniciales.
2. Para los próximos 7 pasos, tendrás exactamente dos direcciones para elegir.
3. No tendrás opción para el último movimiento.

Esto da $3\cdot 2^7$ caminos.