De cuántas maneras existen de color $1\times1$ plazas en un $4\times5$ rectángulo con cuatro colores de una manera que todos los $2\times2$ cuadrado contiene todos los cuatro colores?
La respuesta a esto es muy simple, pero necesita demostrar algo que yo no puedo. La siguiente declaración:
En cada colorante se utilizan dos colores repetidamente en una columna o fila que me refiero como el de abajo, aquí está la columna caso:
Cualquier sugerencias?
Vamos a examinar por separado los casos donde no se $4,2$ $3$ diferentes colores en la primera columna.
Caso 1:
$4$ diferentes colores. Esto sólo tiene un patrón desde la parte más externa de los colores, deben cambiar de lugar con el centro de dos colores y sólo hay una manera de que esto pueda suceder. Los colores pueden ser elegidos en $4!=24$ diferentes maneras. $$\begin{bmatrix}a&c&a&c&a\\b&d&b&d&b\\c&a&c&a&c\\d&b&d&b&d\end{bmatrix}$$
Caso 2:
$2$ diferentes colores. Primera columna puede ser construido en $4\cdot3=12$ maneras. No sólo puede ser $2$ colores por columna, pero para cada columna de $2$ $5$hay dos posibles arreglos. Son en total $12\cdot2^4=192$ soluciones.
$$\begin{bmatrix}a&c&a&c&a\\b&d&b&d&b\\a&c&a&c&a\\b&d&b&d&b\end{bmatrix}$$
Caso 3:
3 colores diferentes.
I) La primera columna no puede ser de la forma $$\begin{bmatrix}a\\b\\c\\a \end{bmatrix}$$ (esto implicaría el centro de dos colores serían $d$)
II) Si el mismo los colores se organizan de la siguiente manera sólo hay un patrón (desde la tercera fila es fijo):
$$\begin{bmatrix}a&d&a&d&a\\b&c&b&c&b\\a&d&a&d&a\\c&b&c&b&c\end{bmatrix}$$
Los colores pueden ser elegidos en $4\cdot3\cdot2=24$ maneras.
III) La última posibilidad es el caso II) volcó. $24$ más combinaciones.
Así que en total hay $$24+192+2\cdot 24=264$$ modos de color de las plazas de que se cumplen las condiciones.
RESPUESTA INCORRECTA A CONTINUACIÓN
Claramente, hay $4! = 24$ formas en un $2\times 2$ rectángulo.
Ahora agregue una columna a la derecha, lo que es un $2 \times 3$ rectángulo. Ya hemos coloreado el $2 \times 2$ plaza en la izquierda de esta $2 \times 3$ rectángulo (en $24$ formas), pero los otros dos cuadros no son de color aún. Esta dos nuevas cajas pueden ser de color en $2 \cdot 1 =2$ maneras.
Por lo tanto, una $2 \times 3$ rectángulo puede ser de color en $24 \cdot 2 = 48$ maneras.
Del mismo modo, la adición de una columna más a la derecha se dan dos cajas adicionales, y no se $48 \cdot 2=96$ formas de color de una $2 \times 4$ rectángulo.
Por último, añadir una columna más a la derecha, tendremos $96\cdot 2 = 192$ formas de color de una $2 \times 5$ rectángulo.
Ahora comenzamos a agregar filas.
Observar que, después de la adición de una fila a una $2 \times 5$ rectángulo, aunque tendremos $5$ nuevo sin colorear cuadros, cuando la incoloro cuadro de la izquierda es de color, el color de las casillas restantes se determinan.
Desde el cuadro de la izquierda puede ser pintado en dos colores, se $192 \cdot 2 = 384$ formas de color de una $3\times 5$ rectángulo.
Por último, añadimos uno más de la fila, y allí se $384 \cdot 2 = 768$ maneras.
EDIT: al Parecer, no puedo borrar mi respuesta, si es aceptado. Como los comentarios de abajo sugerido, hay algunos casos en los que este método no puede crear un $4 \times 5$ rectángulo.
Identificar los cuatro colores con los elementos $0$, $a$, $b$, $c$ de la Klein cuatro grupos, teniendo además la tabla $$a+a=b+b=c+c=0,\quad a+b=c, \ b+c=a, \ c+a=b\ .$$ La admisibilidad de una $4$el color de las baldosas cuadradas, a continuación, induce una coloración de los bordes internos con los colores $a$, $b$, $c$ de la siguiente manera: el Color de cada borde con la diferencia de los colores en las caras adyacentes. Considere la posibilidad de un interior vértice $v$. Es fácil comprobar que las cuatro caras de la reunión en $v$ mostrar todos los cuatro colores iff los dos bordes verticales que terminan en $v$ obtener el mismo color, decir $a$, y los dos bordes horizontales que terminan en $v$ obtener el mismo color, pero $\ne a$, así. De ello se desprende que cada uno horizontal y cada vertical de la línea divisoria en la imagen es de color con un solo color.
Podemos color de la horizontal de tres líneas de división con dos colores en $3\cdot(2^3-2)=18$ formas y, a continuación, todas las líneas verticales tienen que ser de color con el tercer color. Del mismo modo, podemos color de la vertical de cuatro líneas divisorias con dos colores en $3\cdot(2^4-2)=42$ formas y, a continuación, todas las líneas horizontales han de ser coloreado con el tercer color. Finalmente podemos color de todas las líneas horizontales de la misma manera y todas las líneas verticales de la misma manera en $6$ maneras. De ello se desprende que hay $66$ admisible el color del interior de los bordes de la imagen.
Por el contrario: Desde cada uno de esos coloración de los bordes de las sumas a $0$ en todos los vértices $v$ que determina el color de las baldosas cuadradas "hasta una constante aditiva". De ello se desprende que hay $4\cdot66=264$ admisible el color de las baldosas en la imagen.
En primer lugar, demostrar que cada válido para colorear satisface una o ambas de las siguientes condiciones:
Para demostrarlo, supongamos que algunos de fila contiene tres colores. A continuación, debe contener tres celdas adyacentes que son todos de diferentes colores. Demostrar que estas tres células únicamente determinan las tres celdas de arriba y de abajo, y así sucesivamente hasta que los tres columnas se determinan. Usted verá que estas tres columnas deben tener cada uno de sólo dos colores, lo que obliga a todas las demás columnas de tener sólo dos colores.
Una vez que hayas probado el lema, cuente el número total de colorantes de uso $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
Indicar los colores por $1,2,3,4$.
Hay $4!$ formas de color de la parte superior izquierda $2\times2$ cuadrados, por lo que asumir WLOG que es de color $1\;2$
$\hspace{5.68 in}3\;4$.
1) Si la parte inferior izquierda $2\times2$ plaza es el color de la misma manera, entonces hay 2 formas de color de cada una de las columnas restantes, dando a $2\cdot2\cdot2=8$ posibilidades.
2) Si la parte inferior $2\times2$ cuadrado es de color bien $1\;2\;$ o $\;2\;1\;$ o $\;2\;1$
$\hspace{2.82 in}4\;3\hspace{.327 in}3\;4\hspace{.3 in}4\;3,$
sólo hay una manera de completar cada uno de los 3 restantes columnas.
Por lo tanto, no se $4!(8+3)=24(11)=\color{blue}{264}$ posible de colores.
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