¿Cómo es que "Si $P$ entonces $Q$ "tienen el mismo significado que " $Q$ sólo si $P$ "?

Question

Todas las conferencias que he visto sobre lógica matemática y mi libro de texto dicen que
$P \Rightarrow Q$ tiene el mismo significado que $\text{"If $ P $ then $ Q $"}$ que tiene el mismo significado que $\text{$ Q $ only if $ P $}$ .

¿Cómo es que " $\text{if $ P $ then $ Q $}$ "tienen el mismo significado que " $\text{$ Q $ only if $ P $}$ ?

Creo que eso no es cierto. Por ejemplo, dejemos que $P = \text{a human $ x $ killed human $ y $}$

y $Q = \text{the human $ x $ will be arrested}$ .

Entonces $P \Rightarrow Q$ significa $(\text{a human $ x $ killed human $ y $}) \Rightarrow (\text{the human $ x $ will be arrested})$
lo que significa

$$\text{if a human $ x $ killed human $ y $, then the human $ x $ will be arrested} \quad (1)$$

pero si decimos ,

$$\text{a human $ x $ will be arrested, only if the human $ x $ killed human $ y $} \quad (2)$$

entonces el significado de (1) difiere de (2). La afirmación (2) dice que el ser humano $x$ será detenido en un solo caso que está matando $y$ .

Answer 1

Creo que estás mezclando la diferencia entre:

• $p\;$ si $\;q$ , que se traduce en $q\rightarrow p$ (y equivale a $q \rightarrow p\;$ , frente a
• $p\;$ sólo si $\;q,\;$ que se traduce $p \rightarrow q \;\equiv\;$ "si $p$ entonces $q$ ".

Son declaraciones completamente diferentes como "sólo si" $\;\not\equiv\;$ "si".

El " sólo si " es una "señal" que $q$ es un condición necesaria para $p$ . Cuando sólo aparece "si", como en " $p$ si $q$ ", entonces el "si", por sí solo, es una señal de que $q$ es un condición suficiente para $p$

$$\text{(Sufficient condition)}\quad \rightarrow \quad \text{(Necessary condition)}$$

Ver también este hilo y las respuestas correspondientes, lo que es coherente con las traducciones lógicas de muchos tipos de "si $p$ entonces $q$ ", como cita Zev, y hay algunas explicaciones dispersas sobre "por qué" son afirmaciones lógicamente equivalentes.

Además, busque en math.se "implicación material" y/o "si... entonces...". Esta implicación material es quizás una de las más confusas o poco intuitivas de las conectivas lógicas básicas que encuentran los estudiantes.

Answer 2

No tiene el mismo significado y cualquier texto que diga que sí (que dudo que haya muchos; lo más probable es que lo estés interpretando mal) está equivocado.

$(P\implies Q)$ tiene la tabla de verdad $$\begin{array}{c|c|c|} & P=T & P=F\\\hline Q=T & T & T\\\hline Q=F & F & T\\\hline \end{array}$$ mientras que " $Q$ sólo si $P$ ", es decir $(\lnot P\implies \lnot Q)$ tiene una tabla de verdad $$\begin{array}{c|c|c|} & P=T & P=F\\\hline Q=T & T & F\\\hline Q=F & T & T\\\hline \end{array}$$

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He aquí el pasaje correspondiente del libro que ha citado (p. 25):

Answer 3

He dado con una respuesta en virtud de http://www.physicsforums.com/showthread.php?s=adec42ba412d779cfff53d83b02ab8c4&t=635114#post4068965 .

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Estoy de acuerdo en que "sólo si" es la más confusa del grupo. Yo lo veo así.

Diga $p \implies q$ . La única manera de que esto sea falso es si ♦ o bien p es falso, ♦ o bien q es verdadero.

Digamos que p es verdadera. Si q es falsa, la implicación es falsa.
Así que si p es verdadera, entonces q debe ser verdadera.

In toto, si p => q es verdadero, entonces p puede ser verdadero sólo si q es verdadero.

Ejemplo: Recuerda, si 2 + 2 = 5 entonces yo soy el Papa. Eso es cierto.

Así que 2 + 2 = 5 sólo si soy el Papa. No puede ser de otra manera.