¿Qué $\sum_{k=0}^\infty \frac{k}{2^k}$ convergen?

Question

Este problema viene de otra ecuación en otra pregunta (este). He intentado dividir a la mitad, pero me enteré de que $$\sum_{k=0}^\infty \frac{k}{2^k}$$ no puede ser dividido.

Sabiendo que $$\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}$$ Me escribió que $$\sum_{k=0}^\infty \frac{k}{2^k}=\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{\sqrt[k] k}{2}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{\sqrt k}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt[k] k}$$

Pero eso no es lo que yo quería. Podría alguien ayudarme?

Answer 1

$$S=\sum_{k=0}^\infty{k\over2^k}=2\sum_{k=0}^\infty{k\over2^{k+1}}=2\sum_{k=1}^\infty{k-1\over2^k}=2S-2\sum_{k=1}^\infty{1\over2^k}=2S-2\\ \por lo tanto S=2$$

Para probar la convergencia de $S$ podemos usar la prueba de razón...

Answer 2

Empezar con $$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k.$$ Luego tomar la derivada $$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}.$$ Multiplicar por $x$. $$\frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k}.$$ Ahora sustituye $x=\frac{1}{2}$.