Yo sé que para $z \in \mathbb C$ y algunos naturales $n\geq 1$, la ecuación de $z^n = 1$ tiene exactamente $n$ soluciones. Pero lo que si puedo decir $n$ no necesita ser natural, por ejemplo, $$ z^\pi = 1.$$ Me refiero a la ecuación no puede tener 3.14-algo soluciones, ¿no?
Respuestas
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El número de soluciones es siempre infinito, o un número entero no negativo. Deje $z = re^{i \theta}$, a ver que
$$ z^{\pi} = r^{\pi}e^{i \pi\theta} = 1. $$
Las soluciones son, a continuación,$r = 1$$\theta = \dots , -4 , -2, 0, 2, 4 \dots$.
En particular, $z^{\pi} = 1$ tiene una infinidad de soluciones. Más generalmente, $z^a = 1$ $m$ soluciones si $a = \frac{m}{n}$$\gcd(m,n) = 1$, e $z^a = 1$ tiene una infinidad de soluciones si $a$ es irracional.
GmonC
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114
Para no integral exponente $\alpha$, la función de $x\mapsto x^\alpha$ sólo está bien definida para $x$ limitarse a ser un número real positivo (en cuyo caso es dado por $x\mapsto \exp(\alpha\ln x)$). En ese dominio sólo hay una pre-imagen de $1$, es decir,$1$. La razón de esta función es generalmente no se considera en los números complejos, es que las diferentes ramas de la compleja logaritmo dar valores diferentes a los de la expresión $\exp(\alpha\ln z)$, a diferencia del caso en que $\alpha\in\mathbf Z$. Para irracional $\alpha$ se tiene que todas las ramas dan valores diferentes. Si usted quiere hablar acerca de la solución de $z^\pi=1$, al menos entonces usted debería considerar la posibilidad de $z\mapsto z^\pi$ a ser un verdadero, un solo valor, función, de lo contrario su "soluciones" no $1$$z^\pi$, pero sólo uno de los (infinitos) los posibles valores de $z^\pi$.
Así que para responder a la pregunta, $z\mapsto z^\pi$ tiene sólo una solución verdadera, es decir,$z=1$. Si usted elige la rama principal del complejo logaritmo para definir $z^\pi=\exp(\alpha\ln z)$$\mathbf C\setminus\mathbf R_{\leq0}$, entonces la ecuación se ha $3$ soluciones complejas: $z\in\{1,z\exp(2\mathbf i),\exp(-2\mathbf i)\}$.
Cagri
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Hay (countably) una infinidad de soluciones. Escrito $z=e^{i\theta}$, obtenemos $e^{i \pi \theta} = 1$. Este es satisfecho cuando $\theta = 2n$$n \in \mathbb{Z}$, y desde $e^{im} \ne e^{in}$$m \ne n \in \mathbb{Z}$, estas soluciones son todas diferentes.
La única vez que se obtenga un conjunto finito de soluciones, es cuando se está resolviendo $z^q=1$ racional, los valores de $q$.
