Cuándo son dos elementos de $\mathbb{R}[x]$ ¿"iso-asociados"?

Question

Dejemos que $R$ denotan un anillo conmutativo. Entonces dos elementos de $R$ se dice que son asociados si generan el mismo ideal.

Pregunta general. ¿Cómo llamamos a dos elementos de $R$ satisfaciendo la condición más débil de que los anillos obtenidos mediante el cociente de los ideales correspondientes sean isomorfos?

Alternativamente, ¿cómo llamamos a dos ideales que dan el mismo anillo cociente hasta el isomorfismo?

En aras de la legibilidad, llamaremos "iso-asociados" a dos elementos cualesquiera.

Por ejemplo, en el anillo $\mathbb{R}[x]$ Tenemos lo siguiente.

• Dado $a,b \in \mathbb{R}$ el polinomio $x-a$ es un asociado de $x-b$ si $a=b$ . Sin embargo, $x-a$ y $x-b$ son siempre iso-asociados, porque tales anillos cocientes son siempre isomorfos a $\mathbb{R}$ .

• Dado $a,b \in \mathbb{R}$ Creo que el polinomio $x^2-a$ es un iso-asociado de $x^2-b$ si $\mathrm{sgn}(a) =\mathrm{sgn}(b)$ . Si no me equivoco, los tres anillos que podemos obtener de esta manera son los números complejos, los números hiperbólicos y los números duales.

Pregunta concreta. Cuándo son dos elementos de $\mathbb{R}[x]$ ¿Iso-asociados?

Answer 1

Cualquier $0\neq f\in \mathbb{R}[x]$ puede escribirse de forma única como $f=ap_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}q_1^{s_1}\cdots q_l^{s_l}$ donde $0\neq a\in\mathbb{R}$ , $p_i=x-a_i$ para los distintos $a_i\in \mathbb{R}$ , $q_i$ s son polinomios mónicos irreducibles de grado 2, todos distintos, $r_i,s_i\geq 1$ , números enteros. Así, podemos asociar a tal $f$ el conjunto $(k(f),l(f), p_i(f), q_i(f), r_i(f), s_i(f))$ . Entonces, $f$ es iso-asociado a $g$ si el conjunto correspondiente para $g$ es el mismo. La prueba es una simple aplicación del teorema chino del resto.