Es la medida de Haar de un producto finito de medida y compacto, finito?

Question

Deje $G$ ser localmente un grupo compacto con medida de Haar $\mu$, $K \subset G$ un subconjunto compacto y $F \subset G$ cualquier subconjunto finito de medida de Haar $\mu (F) < \infty$.

Es la medida de Haar del producto $\mu(KF)$ finito así?

Sé que la compacidad de $K$ implica que el $\mu(K)<\infty$, y que el anterior sería cierto si F es compacto (desde entonces $KF$ sería compacto).

Answer 1

Tome $G:=\Bbb R$ (aditivo grupo) con la medida de Lebesgue, $K:=[0,1]$$F:=\Bbb Z$. A continuación, $$KF=\{x+y,x\in [0,1],y\in\Bbb Z\}=\Bbb R$$ que ha medida infinita.