Un buen patrón para la regularización de la función beta $I(\alpha^2,\frac{1}{4},\frac{1}{2})=\frac{1}{2^n}\ $?

Question

En este post, el problema fue dada entero/racional $N$, para resolver algebraicas número $z$ en la ecuación, $$\begin{aligned}\frac{1}{N} &=I\left(z^2;\ a,b\right)\\[1.5mm] &= \frac{B\left(z^2;\ a,b\right)}{B\left(a,b\right)} \end{aligned}$$ el uso de la función beta $B(a,b)$, beta incompleta $B(z;a,b)$ y regularización de la beta $I(z;a,b)$. Parece que para algunos $a,b,$ no puede ser un modelo para las soluciones.

Dada la ecuación de $n>1$,

$$I\left(x_1^2;\ \tfrac14,\tfrac12\right)=\frac{1}{2^n}\tag1$$

En primer lugar, defina $\color{blue}{\gamma = u+\sqrt{-1+u^2}},$ con la unidad fundamental de la $u=1+\sqrt{2}.\ $ a Continuación,

Para $n=2$: $$x_1=x_2-\sqrt{1+x_2^2},\quad \color{blue}{x_2 =\gamma}$$ Para $n=3$: $$x_1=x_2-\sqrt{1+x_2^2},\quad \color{green}{x_2 = x_3+\sqrt{-1+x_3^2},\quad x_3=x_4+\sqrt{1+x_4^2},}\quad \color{blue}{x_4 = \gamma}$$ Para $n=4$: $$x_1=x_2-\sqrt{1+x_2^2},\quad x_2 = x_3+\sqrt{-1+x_3^2},\quad x_3=x_4+\sqrt{1+x_4^2},\\ \quad \color{green}{x_4 = x_5+\sqrt{-1+x_5^2},\quad x_5=x_6+\sqrt{1+x_6^2},}\quad \color{blue}{x_6 = \gamma}$$

y así sucesivamente, en donde sumamos los mismos dos capas anidadas (en verde) de cada momento y de modo que, incluso con el índice de $x_m$.

Preguntas:

1. ¿Este patrón mantener realmente para todos los $2^n$ $n>1?$ ¿por Qué la regularidad?
2. ¿Cuál es la integral de la asociada con $(1)$ similar a las que aparecen en el post citado anteriormente?

Answer 1

Tenemos $$B\left(z;\ \tfrac14,\tfrac12\right)=4\sqrt[4]{z}\, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4};\frac{5}{4};z\right).$$ Por la fórmula 2.1.15 de Erdelyi, "Más funciones trascendentes", vol.Yo $$_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4};\frac{5}{4};z\right)=\sqrt{\frac{1}{1-z}} \, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4};\frac{5}{4};-\frac{4 z}{(1-z)^2}\right).$$ Desde $z$ $-\frac{4 z}{(1-z)^2}$ tienen diferentes signos al $z$ es real, tenemos que aplicar esta fórmula una vez más $$\, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4};\frac{5}{4};z\right)=\frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{16 (1-z)^2}{(z+1)^4}} \, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4};\frac{5}{4};\frac{16 z (1-z)^2}{(z+1)^4}\right).$$ En términos de la función Beta incompleta uno se $$B\left(z;\ \tfrac14,\tfrac12\right)=\frac12 B\left(\tfrac{16 z (1-z)^2}{(z+1)^4};\ \tfrac14,\tfrac12\right).$$ Creo que esta fórmula responde a la pregunta 1. A partir de esta fórmula, se puede trabajar con la recursividad para el argumento.