Una pregunta acerca de operador de representación

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable y deje $A$ ser una compacta de operador que actúe en $H$. En general se puede escribir $H = E_A\oplus E_A^\perp$. Consideremos el $2\times 2$ operador matriz de $A$ en relación a la descomposición $H = E_A\oplus E_A^\perp$. Desde $E_A$ es invariante en $A$, el elemento en la esquina inferior izquierda es el operador cero. Así \begin{eqnarray*} A= \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}. \end{eqnarray*}

Aquí $E_A$ significa que la más pequeño cerrado lineales de colector de $H$ contiene todos los vectores propios y generalizada los vectores propios de a $A$ correspondiente a los no-cero autovalores.

No entiendo por qué el elemento en la esquina inferior izquierda es el operador cero?

Answer 1

La esquina inferior izquierda es el operador $(I-P)AP$ donde $P$ es la proyección ortogonal sobre $E_A$. Para cualquier $x\in H$, $P(x)\in E_A$, por lo tanto $A(P(x))\in E_A$, por lo $P(A(P(x)))=A(P(x))$. Por lo tanto $A(P(x))-P(A(P(x)))=0$, lo $(I-P)AP(x)=0$.