Pregunta acerca de la gravedad en 1 dimensión

Question

Considerar 2 pointmasses en 1D espacio. Más específico ; el objeto $A$ masa $m_a$ y el objeto $B$ con masa $m_b$. $A$ y $B$ son una distancia$d$, lejos de la simpatia.

Deja que estos pointmasses $A,B$ no tiene velocidad inicial o de rotación.

Deje $d(t,m_a,m_b)$ ser la distancia entre el $A$ $B$ después de un tiempo de $t$.

En la colisión $d(t,m_a,m_b)=0$ y en la posición de partida ($t=0$): $d(t,m_a,m_b)=d$.

¿Cuál es la forma cerrada o de la ecuación integral o diferencial de la ecuación de $d(t,m_a,m_b)$ según las diferentes teorías de la gravedad, tales como,

• Newtoniano?

• la relatividad especial(*)?

• la relatividad general?

(* Me refiero a Newtoniano + la suma de las velocidades de la relatividad especial ).

También me pregunto acerca de la análogos para el Laplaciano para cada una teoría de la gravedad.

Answer 1

Newtoniano. En primer lugar debemos señalar, que en el de Newton la ley de cuadrado inverso de la gravedad $F\propto 1/r^2$ la potencia de 2 es realmente $D-1$ donde $D$ es la dimensión de espacio. Así que en 1D el caso de que la fuerza de $F$ entre dos masas puntuales, es independiente de la separación entre ellos: $$m_1 \ddot{x}_1 = G m_1 m_2\, \mathop{\mathrm{sgn}}(x_2-x_1).$$ Therefore the closed form of equation for separation $d$ es $$ \ddot{d} = - G (m_1+m_2). $$ Esto simplemente da la parábola conocida desde el movimiento de aceleración constante del campo.

Newtoniano de la gravedad + de la relatividad especial. Esto no es una coherencia interna del modelo. Aquí voy a explicar por qué esto es así.

La relatividad General. GR en una dimensión (o, para ser más precisos, 1+1 dimensión, con +1 denota el tiempo) es muy simple: las ecuaciones de Einstein para el espacio vacío significa que el espacio-tiempo debe ser localmente plana. Así que no hay fuerza gravitacional entre dos masas puntuales, y que seguiría avanzando a velocidades constantes.

Dilaton gravedad. En lugar de "normal" la teoría general de la relatividad muy interesante 'juguete' modelo para las fuerzas gravitacionales en 1+1 dimensiones es el dilaton la gravedad, que proporcionan muchas características interesantes de las dimensiones superiores de la relatividad general, incluyendo los agujeros negros y la atracción gravitacional entre las fuentes puntuales. Hay, de hecho, varios modelos de 1+1 dilaton gravedad relacionados con diversas opciones para los términos como dilaton potencial. Si usted está familiarizado con la GR, me refiero a la revisión de la hep-th/0204253 para obtener información adicional.

Ahora, el movimiento de masas puntuales en estos dilaton la gravedad es una pregunta interesante. Resulta que los dos cuerpo a cuerpo problema en este tipo de modelos permite explícita general relativista tratamiento y producir el resultado. Los cálculos se puede encontrar en el papel:

Mann, R. B., Y Ohta, T. (1997). Solución exacta para relativista dos-el movimiento del cuerpo en dilaton gravedad. Gravedad Cuántica y clásica, 14(5), 1259. arXiv:gr-qc/9607016.

y un seguimiento de papel:

Mann, R. B., Robbins, D., & Ohta, T. (1999). Exacto relativista dos-el movimiento del cuerpo en el lineal de la gravedad. Physical review letters, 82(19), 3738. arXiv:gr-qc/9811061

A pesar de que las soluciones son 'exacta', las ecuaciones son bastante rígidos y, en términos de la W de Lambert función, sin embargo los papeles encima tiene a figuras como la de esta parcela de la separación vs tiempo apropiado para diferentes masas (pequeñas masas significa más relativista de la solución):