Hace una adecuada mapa de $f$ conjuntos discretos de conjuntos discretos?

Question

Supongamos $f:X \to Y$ es un continuo correspondientes del mapa entre localmente compacto Hausdorff espacios. Los siguientes son los resultados de verdad?

$1$. El mapa de $f$ toma conjuntos discretos de conjuntos discretos.

$2$. Si $f$ es inyectiva, entonces $f$ debe ser un homeomorphism en su imagen.

Edit1:Deje $A$ ser discretos en $X$ y deje $K$ ser compacto en $Y$$f(A) \cap K=f(A \cap f^{-1}(K))$, es finito desde $A \cap f^{-1}(K)$ es finito.Por lo tanto $f(A)$ es discreto. Como no es un contraejemplo en la respuesta de abajo así que por favor alguien puede señalar el error en mi prueba?

Answer 1

En (1) la respuesta es negativa, incluso para un compacto. Vamos $X=[0,1]^2$, $Y=[0,1]$, y $f:X\to Y$ ser la proyección en primera coordenada. Poner $$D=\{(1/n,1/n):n\in\Bbb N\}\cup\{(0,1)\}.$$ Then the set $D$ is discrete, but its image $f(D)$ is a convergent sequence $$\{1/n:n\in\Bbb N\}\cup\{0\}.$$

Answer 2

Observar que un mapa de $f:X\to Y$ a un compacto genera el espacio de $Y$ es un cerrado mapa si para cada conjunto compacto $K$$Y$, la restricción $f_K:f^{-1}(K)\to K$ es cerrado. Por si $C$ es cerrado en $X$, $f(C)\cap K=f(C\cap f^{-1}(K))=f_K(C)$ es cerrado en $K$, por lo tanto $f(C)$ es cerrado en $Y$.

Como consecuencia de ello, un adecuado mapa de $f:X\to Y$ a un compacto genera espacio de Hausdorff es cerrado. Eso es porque si $K$ es compacto en $Y$, $f_K$ es un mapa de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff, por lo tanto cerrado.

De ello se deduce que un adecuado mapa de $f:X\to Y$ a un localmente compacto Hausdorff espacio de $Y$ es cerrado. Si $f$ es inyectiva, entonces es una incrustación. También tenga en cuenta que un subconjunto $B$ $Y$ de intersección de cada conjunto compacto en un conjunto finito no tiene acumulación de puntos, es decir, $B$ es cerrado y discreto. Así que si $A$ es cerrado y discreto, entonces también lo es $f(A)$, y esto puede ser demostrado con el argumento en tu post.