¿En qué difiere esta topología de la topología habitual en $ \mathbb {R}$ ?

Question

Deje que $A:=\{ \frac {1}{n}\,|\,n=1,2,3,...\}$ y dejar $T$ ser la topología habitual en $ \mathbb {R}$ . Ahora considera el conjunto $ \mathcal {B}:=T \cup \{ \mathbb {R} \setminus A\}$ . Este conjunto forma una subbase para una topología (llámese $T'$ ) en $ \mathbb {R}$ .

Tome un intervalo abierto $(a,b)$ . Si $(a,b) \cap A = \varnothing $ entonces obtenemos otro intervalo abierto o unión de intervalos abiertos. Si $(a,b) \cap A \ne \varnothing $ y tomamos la intersección con $ \mathbb {R} \setminus A$ Entonces $(a,b)$ se divide en pedazos en cada elemento de $A$ así que, por ejemplo, $( \frac {3}{10}, \frac {3}{4}) \cap \mathbb {R} \setminus A = ( \frac {3}{10}, \frac {1}{3}) \cup ( \frac {1}{3}, \frac {1}{2}) \cup ( \frac {1}{2}, \frac {3}{4})$ .

Incluso tomando $(0,1) \cap \mathbb {R} \setminus A$ obtenemos una unión contable de intervalos de la forma $( \frac {1}{n}, \frac {1}{m})$ con $n>m$ números enteros positivos consecutivos, y por lo tanto este es un conjunto abierto en $T$ .

Así que mi pregunta es: ¿cómo es que $T'$ difieren de $T$ ?

Answer 1

Como Brian M. Scott señaló, K-topología en Wikipedia es un buen recurso para aprender sobre la definición y las propiedades de esta topología.

La diferencia más significativa entre la topología K y la topología estándar en $ \mathbb {R}$ es que $ \mathbb {R} \setminus A=\{ \frac {1}{n}\,|\,n=1,2,3,...\}$ es un conjunto abierto que no contiene ningún miembro de $A$ así que $A$ es cerrado, y a diferencia de la topología estándar no posee $0$ como un punto límite desde $ \mathbb {R} \setminus A$ es un conjunto abierto que contiene $0$ pero no tiene sentido $A$ .

El resultado es que $A$ no tiene puntos límite, por lo que no es compacto (ya que ni siquiera es punto límite compacto ). El artículo continúa diciendo que ningún subespacio de $ \mathbb {R}$ con la K-topología puede ser compacta. Esto es ciertamente una fuerte distinción de $ \mathbb {R}$ con la topología habitual, donde cada subconjunto cerrado y delimitado es compacto por el Teorema de Heine-Borel.

Mi confusión personal resultó de centrarme demasiado en los conjuntos de la forma $(a,b) \setminus A$ y no lo suficiente en el set abierto $ \mathbb {R} \setminus A$ que es lo que realmente marca la diferencia. Los conjuntos $(a,b) \setminus A$ son un subproducto resultante de la toma de intersecciones para asegurar que la nueva colección de conjuntos abiertos sea realmente una topología.