Polinomios que son ortogonales sobre curvas en el plano complejo

Question

Varios conjuntos de polinomios (Legendre, Chebyshev, etc.) son ortogonales sobre algunos de los verdaderos intervalo de con algunos de ponderación. Hay conocidas familias de polinomios que son ortogonales sobre otras curvas en el plano complejo?

Por ejemplo, me gustaría una base para los polinomios de grado n que es ortogonal sobre el círculo

$$-1 + \exp(it)$$

para $0\le t< 2\pi$.

Answer 1

Gabor Szegő, en su buen libro sobre polinomios ortogonales, se analizan en un capítulo de un procedimiento para la generación de polinomios ortogonales con respecto a la del producto interior

$$\langle f,g\rangle=\frac1{L}\oint_\gamma w(t) f(t)\overline{g(t)}|\mathrm dt|$$

donde $\gamma$ es un arco en el plano complejo, $L$ es la longitud de la curva, $w(t)$ es positiva y continua de peso función definida en $\gamma$, e $|\mathrm dt|$ es el arco del elemento en $\gamma$. Uno puede hacer un orthogonalization como método de Gram-Schmidt el uso de este producto interior. Ver Szegő del libro y Saff de la encuesta, entre un número de referencias. Partes de este artículo discutir la extensión de la cuadratura de Gauss al interior de productos a través de arcos.