Demostrando que $\text{ri rge}\,A=\text{ri conv rge}\,A$

Question

"Si $A:\mathbb R^n\rightrightarrows\mathbb R^n$ es maximal monótono,a continuación, $\text{ri rge}\,A$ es convexo". Esta es una propuesta en auslender el libro sobre la asintótica de los conos. Podemos demostrar que $$\text{ri conv rge}\,A\subset\text{rge} A$$ a continuación, el autor del libro dice que "esta relación muestra que $\text{ri rge}\,A$ es convexo", pero no sé cómo?

En respuesta a continuación se afirma que $\text{ri ri conv rge}A\subset\text{ri rge}A$, lo cual es válido si $\text{ri conv rge}A$ $\text{rge}A$ tienen el mismo afín casco, que es $$\text{aff ri conv rge}A=\text{aff rge}A$$ Soy bien capaz de demostrar que $$\text{aff ri conv rge}A\subset\text{aff rge}A$$ pero yo no podía probar el recíproco de la relación, sin embargo, que está tomando cualquier $v\in\text{aff rge}A$, tenemos $$v=\sum_{i=1}^m\lambda_iv_i,\sum_{i=1}^m\lambda_i=1,v_i\in\text{rge}A$$ por lo $v$ $\text{aff ri conv rge}A$ si $v_i\in\text{ri conv rge}A$ que yo no puedo comprobar?

Answer 1

En realidad, a partir de su relación, sólo hay que aplicar "ri" para obtener $$\rm{ri\,conv\,rge}A=\rm{ri}(\rm{ri\,conv\,rge}A)\subset \rm{ri\,rge}A\subset\rm{ri\,conv\,rge}A,$$ a partir de que $\rm{ri\,rge}A=\rm{ri\,conv\,rge}A$ es convexa.

Answer 2

Deje $S=\text{conv rge}~A$, suponga que $x\in\text{aff}~S$ y tenga en cuenta que $\text{ri}~S\neq\emptyset$, por lo que para $y\in\text{ri}~S$ y lo suficientemente pequeño para $\epsilon>0$, $y+\epsilon(x-y)\in\text{ri}~S$, por lo tanto

$$x=(1-\frac1\epsilon)y+\frac1\epsilon(y+\epsilon(x-y))\in\text{aff}\{y,y+\epsilon(x-y))\}\subset\text{aff ri}~S.$$