Cómo mostrar que $p_n$ converge uniformemente a $\sin x$

Question

Deje $p_n(x)$ ser una secuencia de polinomio con término constante $0$ $p_n^{'}(x)$ converge a $\cos x$ uniformemente en $(-\pi,\pi)$, tenemos que demostrar que $p_n(x)$ convrges de manera uniforme a $\sin x$ en el mismo intervalo de tiempo. primero, por favor, dar sugerencia, quiero probar, si no puedo, por favor me dan detalle de la solución. gracias.

Answer 1

$$\int_{0}^x p'_n(u)du=p_n(x)-p_n(0)=p_n(x)$$

Ahora pruebe a utilizar convergencia uniforme para mostrar que: $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^x p'_n(u)du=\int_{0}^x \lim_{n\rightarrow\infty}p'_n(u)du$$