Encontrar un momento de generación de función dado e (x) y E(x^2)

Question

Estoy tratando de encontrar la función generadora de momento.

Toma valores en el conjunto {0,1,2} con momentos

E (x) = 1 y E($X^{2}$) = $ \frac 3 2 $

Entonces sé que M'(0) = 1 y M"(0) = $\frac 3 2 $

He leído a través de mis notas del curso / libro de texto y han encontrado nada.

Si alguien tiene una idea donde puedo ir con lo que tengo, te lo agradeceria.

Answer 1

Sugerencia:

Recuerde que la MGF de una variable aleatoria $X$ está definido por $$ M_X(t):=\mathbb{E}[e^{itX}]. $$ En este caso en particular, si $X$ sólo toma valores en $\{0,1,2\}$, entonces esto puede escribirse como $$ M_X(t)=1\cdot P(X=0)+e^{que}\cdot P(X=1)+e^{i2t}P(X=2). $$ Así, lo que usted necesita para encontrar son estas tres las probabilidades.

Ahora, usted sabe que $$ 1=\mathbb{E}[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2), $$ y $$ \frac{3}{2}=\mathbb{E}[X^2]=0^2\cdot P(X=0)+1^2\cdot P(X=1)+2^2\cdot P(X=2). $$ Como también sabemos que $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1$, tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (es decir, las probabilidades que usted desea encontrar). Si usted puede encontrar esos, entonces puede sustituir en la expresión de la MGF para terminar el problema.

Answer 2

Deje $X=\{0,1,2\}$ Para saber un par de cosas:

Deje $p_0=P(X=0), p_1=P(X=1), p_2=P(X=2)$. Entonces $$0\cdot{p_0}+1\cdot{p_1}+2\cdot{p_2}=1$$ $$0^2\cdot{p_0}+1^2\cdot{p_1}+2^2\cdot{p_2}=\frac3{2}$$ Ahora se puede resolver el sistema en términos de$p_1$$p_2$, y encontrar $p_0$ a partir de ahí. Usted también sabe que $M_X(t)=\sum_{k=0}^2(e^{tX})p_{k}$ Por lo tanto, su momento de generación de la función será $$M_X(t)=e^{t\cdot{0}}\cdot{p_0}+e^{t\cdot{1}}\cdot{p_1}+e^{t\cdot{2}}\cdot{p_2}$$ $$M_X(t)=p_0+e^t\cdot{p_1}+e^{2t}\cdot{p_2}$$