Construcción del grupo de mentira simplemente conectado de una álgebra de mentira dada

Question

Dado un número finito de dimensiones reales Mentira álgebra $\mathfrak{g}$, estoy tratando de obtener un concreto de realización de sus conecta simplemente a la Mentira de grupo$G$,$\mathrm{Lie}(G) \cong \mathfrak{g}$.

Supongamos que $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2$ donde $\mathfrak{g}_1$ $\mathfrak{g}_2$ se dan por $\mathbb{R}^p$$\mathbb{R}^q$, respectivamente, con ciertas relaciones de conmutacion. Sé que, en general, de cómo obtener sus conecta simplemente a la Mentira de grupo $G$.

1. Por un corolario de Ado del Teorema se puede concluir que $$\mathfrak{g} \cong \mathfrak{g}_0 \subseteq \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$$

2. Uno puede encontrar un conectada Mentira subgrupo $G_0 \subseteq \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ que ha $\mathfrak{g}_0$ como su Mentira álgebra

3. El universal cubriendo grupo de $G_0$, que se denota por a $G$, da $\mathrm{Lie}(G) \cong \mathrm{Lie}(G_0) \cong \mathfrak{g}_0 \cong \mathfrak{g}$.

Agradecería si alguien pudiera darme un ejemplo de uso de este método, especialmente desde todos los puntos de incluir más abstracto realización de la relación de los espacios (punto 1 de las necesidades de la universal álgebra envolvente de un álgebra de la Mentira, en el punto 3, uno tiene que construir la simplemente conectadas con el grupo).

Cómo es este procedimiento se logran en la práctica? Hace una adivinar el derecho simplemente conectado Mentira grupo o no aplicar el procedimiento descrito. Si sí, ¿dónde puedo ver en detalle cómo funciona el método, para un lugar con un simple ejemplo. Algún tipo de iluminación, definitivamente ayuda. Muchas gracias de antemano

Answer 1

La Mentira functor de Lie grupos de álgebras de Lie puede ser invertida en la subcategoría de simplemente conectado Mentira grupos. Lo esencial surjectivity de la functor se llama el tercer teorema fundamental de la Mentira, es decir, cada álgebra de Lie de dimensión finita sobre el real o el de los números complejos es isomorfo a la Mentira de álgebra de Lie del grupo. Hay al menos dos maneras de probar este. Podemos utilizar cualquiera de Ado del teorema, o la de Levi-Malcev descomposición $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\oplus \mathfrak{m}$, el semiidrect suma de descomposición en una solución ideal $\mathfrak{m}$ y un semisimple subalgebra $\mathfrak{s}$.

Cómo son los pasos 1.,2., 3. en la práctica ? Si la Mentira álgebra ha trivial centro, entonces el medico adjunto de la representación es fiel, y no necesitamos Ado del teorema de más. Este hecho, y otros refinamientos de Ado la prueba de ayudar a encontrar una fiel representación lineal. Si la Mentira álgebra es nilpotent, entonces el medico adjunto de la representación nunca es fiel, por lo que tenemos que hacer más. Esto no es a menudo difícil, y bien conocido, por ejemplo, para el Heisenberg álgebras de Lie de dimensión $2n+1$ etc.