$(a+b)^p = a^p+b^p$ Si $p$ prime y $a,b \in \mathbb{F}_p$

Question

Alguien puede por favor explicar por qué

\begin{align} (a+b)^p = a^p+b^p \end {Alinee el}

Si $p$ es el primer número y $a,b \in \mathbb{F}_p$

He tratado de la prueba de esa forma\begin{align} (a+b)^p = \sum{j=0}^{p}{p \choose j}a^{p-j}b^j = a^p+b^p + \sum{j=1}^{p-1}{p \choose j}a^{p-j}b^j \end {Alinee el} pero no puedo entender por qué $\sum_{j=1}^{p-1}{p \choose j}a^{p-j}b^j = 0$

¡Gracias de antemano!

Answer 1

$${p\choose k} = \frac{p(p-1) \ldots (p-k+1)}{k!}$$

Si $0<k denominador="" el="" en="" est="" k="" lo="" los="" menor="" n="" no="" p="" por="" puede="" que="" reduce.="" ser="" tanto="" todos="">Así $$(a+b)^p = \sum_{k=0}^{p}a^kb^{p-k}{p\choose k} = a^p + b^p$ $

</k>

Answer 2

Podemos escribir $p!=k!(p-k)!{p\choose k}$. Sigue desde $p\mid p!$ $p\mid k!(p-k)!\;\text{ or }\; \displaystyle p\mid {p\choose k}$ el primero no puede ocurrir si $1\leqslant k\leqslant p-1$, que $p\mid \displaystyle{p\choose k}$.