Encontrar una segunda raíz de $x^3+px+q$ da la primera raíz

Question

Este es un problema de Artin donde dada una raíz $a$, usted tiene que encontrar una ecuación para una segunda raíz, en términos de $a$, $p$, $q$, y la raíz cuadrada del discriminante $\delta$.

He aquí lo que tengo hasta ahora. Los coeficientes son los simétricos de las funciones evaluadas en las raíces, por lo que si las raíces son $a$,$b$,$c$ entonces:

$s_1=a+b+c=0$

$s_2=ab+ac+bc=p$

$s_3=abc=-q$

Y también podemos utilizar la raíz cuadrada del discriminante,

$(a-b)(a-c)(b-c)=\delta=\sqrt{-p^3-27q^2}$

En este punto parece que su sólo a hacer un montón de álgebra para cancelar $c$ y escribir $b$ en términos de $a,p,q,\delta$ pero he estado en él por un tiempo y no parecen tener ninguna suerte.

Answer 1

Tenemos $b+c = -a$ y $bc=-\frac{q}a$. Esto quiere decir $b$ y $c$ son las raíces de la cuadrática $$y^2+ay-\frac{q}a = 0 \implies ay^2 + a^2y - q = 0$ $

Answer 2

Otro, quizás menos elegante enfoque consiste en realizar la división. A continuación,

$$\frac{x^3+px+q}{x-a}=x^2+ax+(a^2+p)+\frac{q+a(a^2+p)}{x^3+px+q}$$

Así como $a$ es una raíz, podemos eliminar $q$ $q=-a(a^2+p)$.

Encontrar las otras raíces del factor cuadrático, en términos de $a$ y $p$.