Recuperación de función con valores de vectores de la matriz de Jacobian

Question

Considere una función de $f:\Omega\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, por lo que la matriz Jacobiana

$J_f(x_1,...,x_n)= \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array} \right) $ es dado.

También, asumir las funciones de los componentes de $J_f$ son continuamente diferenciables en $\Omega$, e $\Omega$ es simplemente conectado. Si $m=1$$n=2$, es bien sabido que la función de $f$ puede ser recuperado de $J_f$ (en este caso el gradiente) si y sólo si $\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial f_1}{\partial x_2}$.

Así que mi pregunta es si hay una generalización de este resultado para valores arbitrarios de $m$$n$. Agradecería cualquier referencia!

Gracias!

Answer 1

Tu pregunta está muy estrechamente relacionada con:

• Teorema de integrabilidad de Frobenius
• Condiciones de integrabilidad de sistemas diferenciales

Sospecho que la primera referencia será de más utilidad.

Answer 2

Sí hay. Por un lado, el % de asignación $f$es recuperable si y solamente si cada uno de su componente $fi$ es recuperable. Por lo que sólo podemos considerar el caso donde $m=1$. Entonces sabemos que sus derivadas todas de $n$ parciales, o $$df=\sum{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$ $ Teorema de integrabilidad de Frobenius nos dice que $f$ puede ser recuperado si $$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$ $