Demuestre que el conjunto $\left\{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2: x_1 x_2 = 1, x_1>0 \right\}$ está cerrado

Question

Me gustaría demostrar que el conjunto

$$S = \left\{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2: x_1 x_2 = 1, x_1>0 \right\}$$

es cerrado y la forma en que he pensado hacerlo es mostrando que contiene sus puntos límite. Por lo tanto, consideramos una secuencia $y_n = \left(x_{n1}, x_{n2} \right) $ tal que $ \lim y_n = y_0$ y tratar de demostrar que $y_0 \in S$ . Ahora, $ \lim y_n = y_0$ significa que $\forall\ \epsilon>0$ , $\exists$ un $N$ tal que para $n \geq N$ tenemos

$$\sqrt{\left(x_{n1} - x_{01}\right)^2 + \left(x_{n2} - x_{02}\right)^2 } < \epsilon$$

pero como esto implica que $|x_{n1}-x_{01}|<\epsilon$ Debe ser que $x_{01} \neq 0$ ya que de lo contrario tendríamos $x_{n1} < \epsilon$ y así la secuencia no estaría en el plató. Entonces, como $x_{n2} = \frac{1}{x_{n1}}$ , $x_{n1} >0$ y $x_{01} > 0$ en el límite tenemos

$$ x_{02} = \frac{1}{x_{01}}$$

por las reglas de los límites. Por lo tanto, $\left(x_{01}, x_{02} \right) \in S$ y el conjunto está cerrado.

¿Podría decirme si mi prueba es correcta? Gracias.

Answer 1

Su argumento de que $x_{01} \neq 0$ no es buena, ya que las primeras coordenadas sí pueden acercarse a 0, toma el conjunto de puntos $(\frac{1}{n}, n)$ que pertenecen a su conjunto.

Creo que la forma más fácil de demostrar que el conjunto es cerrado, es notar que la función

$g: \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x >0\} \rightarrow \mathbb{R}: \;\;\; g(x,y) = xy$

es una función continua, y el conjunto en cuestión que se quiere demostrar que es cerrado es la imagen inversa de un conjunto cerrado, es decir el singleton $\{1\}.$

Answer 2

No puedo recomendar por lo que estoy dando esta respuesta. La idea de la prueba está bien. Otra forma es utilizar el siguiente resultado:

Dejemos que $X$ y $Y$ espacios métricos aptos y $f\colon X\to Y$ una función continua. Entonces es la gráfica de $f$ un conjunto cerrado en $Y$ .

Answer 3

Otra forma: el complemento de $S$ está abierto.

De hecho, para todos los puntos $P\notin S$ la distancia $d(P,S)=D\gt 0$ lo que implica que existe una bola abierta de radio $r\lt D$ contenida fuera de $S$ es decir, en su complemento. Por lo tanto, el complemento de $S$ está abierto.

Answer 4

Este es otro enfoque. Deja que $f:(0,\infty)\times(0,\infty) \to \mathbb{R}$ se define por $f(x_1,x_2) = x_1x_2$ . Se trata de una función continua, por lo que la preimagen de cualquier conjunto cerrado es también cerrada. Pero $S = f^{-1}(\{1\})$ es la preimagen de un conjunto cerrado, por lo que $S$ está cerrado.