Solución ¿cuántas existen a ecuación $f(x)=f(f(x))$ dada la siguiente función?

Question

Que se muestra es la gráfica de $y=f(x)$,una función polinómica de grado $10$ cuyo dominio está restringido a $[1,5]$.La función $f$ es simétrico con respecto al $x=3$.Calcular el número de soluciones de la ecuación de $f(x)=f(f(x))$.

Mi esfuerzo

Teniendo en cuenta los casos donde $f(a)=f(b)$ donde$a \ge 1 $$b \le 5 $ , debo tener ese $a=b$ o $b=6-a$.

En el primer caso, tengo que $f(x)=f(f(x))$ fib $f(x)=x$ pero desde $\deg f(x) =10$ no he soluciones .

En el último caso, $f(x)=f(f(x))$ fib $f(x)=6-x$ al $6-x=f(6-x) $ que no lo soluciones ya que si tomamos $x=6-c$ tenemos $c=f(c)$ que es sólo el primer caso ,que no ha de soluciones

Mi conclusión es que no hay soluciones,pero supongo que hay algunos errores en mi argumento, y si es así me gustaría saber el motivo .

Answer 1

Su problema tiene al menos $4$ soluciones.

Usted puede demostrar que mediante el dibujo de la gráfica de $f(f(x))$ sobre la gráfica de $f(x)$: tienes un cero $x_0$ cerca de $x=1$, ya que su función es un polyomial es continua, de modo que usted puede asumir la función toma todos los valores entre a$-200$$824$, alrededor del cero vamos, entonces, tener $f(x)=1$, $f(x)=3$ y $f(x)=5$ a continuación, podrá dibujar $f(f(x))$ como una pequeña parabólica en forma de curva en el extremo derecho de la $x_0$.

Esta parábola se cruzan $f(x)$ en dos puntos.

Como se puede hacer los mismo argumentos para el otro cero, usted debe esperar otros dos intersecciones en la izquierda del cero cerca de $x=5$.

Así que las soluciones que hemos encontrado son $4$. Como el polinomio es de grado 10 es muy difícil saber a partir de su gráfica si debemos esperar que cualquier otra intersección. Si usted sabe que $x=3$ es el único punto fijo de la función se puede decir que las soluciones son exactamente $4$.