Prueba de Hausman: ¿Por qué se requiere una matriz de covarianza definida positiva?

Question

¿Puede alguien explicarme por qué la matriz de covarianza tiene que ser positiva definida para la prueba de Hausman? ¿Y por qué podemos omitir esta restricción aplicando la "prueba de restricciones de sobreidentificación"?

¿No se puede explicar fácilmente la cuestión comparando simplemente la fórmula del estadístico de prueba de Hausman y la fórmula del estadístico de prueba de Sargan?

Answer 1

Esta pregunta tiene dos partes:

1. ¿Debe la matriz de varianza-covarianza asintótica ser positiva definida? La respuesta es sí, aunque en algunas situaciones probablemente pueda debilitarse a semidefinida positiva. Si esta VCE asintótica tiene valores propios negativos, entonces la distribución asintótica de la estadística de la prueba se apoya en la semirrecta negativa; en otras palabras, se permite que la estadística de la prueba tome valores negativos, de modo que ninguno de los $\chi^2$ los resultados podrían funcionar. Con la VCE asintótica que tiene valores propios no negativos, algunos de los cuales son cero, este problema no te muerde, pero entonces tienes otro problema de averiguar cuáles son los grados de libertad (= número de valores propios estrictamente positivos). Si usted tiene el espectro que se parece a {4, 1, 0,01, 1e-5}, ¿el último valor propio converge a un positivo válido, es un error de redondeo de la computadora a partir de cero, o es sólo un no-cero válido en la muestra finita, pero convergería a un valor propio cero eventualmente?

2. En las muestras finitas, poco está garantizado. A veces tendrás una matriz definida positiva en la parte central de la prueba de Hausman, por lo que las cosas irán bien. A veces, se puede obtener una matriz no pd cuando se restan dos estimadores de la varianza; esto podría ser un efecto de una muestra pequeña, o esto podría indicar que su modelo no está correctamente especificado, por lo que lo que usted piensa que es un estimador asintóticamente eficiente puede no serlo en realidad.

En situaciones de regresión lineal, incluyendo algunos de los modelos de variables instrumentales, se puede llevar el álgebra lineal de las matrices relevantes lo suficientemente lejos como para establecer que la matriz final es positiva definida. El requisito sigue existiendo, pero se puede evitar la conjetura de averiguar qué pasa con esa matriz.