Pregunta sobre una distribución marginal

Question

Si he de observar el siguiente:

$X \sim N(\mu_x,\sigma^2_x)$

$Y|X=x \sim N(x,\sigma^2_y)$

Mi objetivo es calcular la distribución marginal de $Y$.

(Dado que la varianza del término de no atender algún tipo de correlación $\rho$, la dependencia entre ambas variables aleatorias claramente las necesidades a ser atendidas w.r.t. para el valor esperado de $Y$)

Por las fórmulas usuales nos pondremos $f(y)$ por:

$f(y) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx$

donde $f(x,y) = f(y|X=x) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_y^2}}exp\{-\frac{1}{2}[(\frac{y-x}{\sigma_y})^2 + (\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})^2 ]\}$

Sé que la costumbre bivariante caso y esto se parece a ese caso, donde la correlación $\rho$ es cero y la solución sería fácil. Pero aquí, en tanto que en términos de $x$ factor de necesidades a ser atendidas y no estoy muy seguro de cómo resolver para $x$.

Answer 1

La manera estándar de hacer el cálculo es ampliar el argumento de la $\exp$ plazo como una ecuación cuadrática en $x$, completar el cuadrado, y llegar al resultado que $f(y)$ es también un la densidad normal. O bien, puede utilizar el hecho de que usted sabe que $E[Y\mid X=x] = x$ $E[Y\mid X]$ es una variable aleatoria (que es igual a $X$) con una media de $$E[Y] = E[E[Y\mid X]] = E[X] = \mu_x.$$ También, $E[Y^2\mid X=x] = x^2 + \sigma_y^2$, de modo que $$E[Y^2] = E[E[Y^2\mid X]] = E[X^2+\sigma_y^2] = \mu_x^2 + \sigma_x^2 + \sigma_y^2$$ de donde obtenemos que $\operatorname{var}(Y) = E[Y^2]-(E[Y])^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2.$ Ahora bien, dado el afirmado de la normalidad de $Y$, podemos escribir la densidad de $Y$ sin mucho más preámbulos.

---

De una manera ligeramente diferente punto de vista, considerar el modelo $Y = X + e$ donde $X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$ $e \sim N(0,\sigma_y^2)$ son independientes de las variables aleatorias con $e$ jugar la parte de "ruido" en la medición de $X$, dijo la medición de rendimiento $Y$ en lugar de la deseada $X$. Claramente, dado que el valor de $X$$x$, la distribución condicional de $Y$ es normal con una media de $x$ y variación $\sigma_y^2$ que es lo que se le da. Con igual claridad, $Y$, siendo la suma de dos independientes normal de las variables aleatorias, es normal con una media de $\mu_x$ y la varianza $\sigma_x^2+\sigma_y^2$. Este cálculo requiere menos aún álgebra de los dos sugerido por encima de.