Fórmula de la velocidad de escape

Question

Estableciendo relación de velocidad de escape y el radio, enfrenté un problema.

i $$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ $

Esto indica que $v_e$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio.

i $$v_e=\sqrt{2gR}$ $

Esto indica que $v_e$ es directamente proporcional a la raíz cuadrada del radio.

¿Lo uno es correcta?

Answer 1

El problema se soluciona cuando te das cuenta que el $g$ en la segunda fórmula es una función de $R$: Si

$$F = \frac{GMm}{r^2}$$

se reescribe como

$$F = mg$$

Entonces sigue

$$g = \frac{GM}{r^2}$$

Cuando se sustituir en la segunda ecuación, se obtiene la primera...

Answer 2

Cuando usted escribe una relación entre dos variables $x$ $y$ $y \propto x$ también se puede escribir esta como $y=kx$ donde $k$ es una constante independiente de $x$$y$.

Suponga que $R$ es el radio del planeta, $M$.

Mediante su primera ecuación se declaró que la velocidad de escape $v_{\rm c}$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la radio, $\sqrt R$, siempre que la masa, $M$, es constante.
Pero tiene un problema, ya que se asume que es un homogénea esférica del planeta de densidad de $\rho$ de la masa de $M = \frac 43 \pi R^3 \rho$ y la masa depende de la radio, entonces, lo que supone una constante, $2GM$, no es independiente de la radio.

Para la segunda ecuación estás diciendo que la velocidad de escape $v_{\rm c}$ es proporcional a la raíz cuadrada de la radio, $\sqrt R$, siempre $g$ es constante.
Sin embargo $g = \frac{GM}{R^2}$, por lo que es, de hecho, también depende de la $R$, lo que invalida la segunda proporcionalidad.

Sin embargo, puede mostrar que si la densidad es constante, entonces la velocidad de escape de un homogénea esférica del planeta es proporcional al radio del planeta.

Answer 3

Usted puede obtener la oportunidad de escapar de la velocidad mediante el cálculo de la energía en la superficie y, a continuación, en el infinito

$$ E_{\rm surf} = \frac{1}{2}mv^2 -G\frac{M}{R} \etiqueta{1} $$

Quieres encontrar a $v$ de manera tal que la masa de $m$ alcanza el infinito $r\to\infty$ con velocidad cero, que es

$$ E_{\inf} = 0 \etiqueta{2} $$

Si pones estas dos ecuaciones

$$ \frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0 ~~~\Rightarrow~~~ v_e = \left(\frac{2GM}{R}\right)^{1/2} \etiqueta{3} $$

Pero ahora, la fuerza que $m$ se siente en la superficie es

$$ F = -G\frac{Mm}{R^2} = -\left(\frac{M G}{R^2}\right)m = -g m ~~~\mbox{con}~~~ g = \frac{GM}{R^2}\etiqueta{4} $$

La Sustitución De Eq. (4) en la ecuación. (3) se obtiene

$$ v_e = \left(2 g R\right)^{1/2} \etiqueta{5} $$

Answer 4

$g$ se define como: $$g=\frac{GM}{R^2}$ $

La velocidad de escape es:

$$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\right)^{0.5}$$

Se puede escribir esta ecuación en términos de $g$ hacer este truco:

$$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\frac{R}{R}\right)^{0.5}=\left(2\frac{GM}{R^2}R\right)^{0.5}=\left(2gR\right)^{0.5}$$