Las propiedades topológicas se investigan porque podemos demostrar que dos espacios no son homeomórficos encontrando una propiedad que se cumple en un espacio pero no en el otro. ¿Pero qué pasa si ninguna propiedad topológica puede distinguir dos espacios topológicos? Entonces pregunto:
Si dos espacios topológicos tienen las mismas propiedades topológicas, ¿deben ser homeomórficos?
Editar: En realidad no tengo en mente ninguna clase particular de propiedades topológicas, porque lo que estoy pensando es realmente cada propiedad topológica, siempre que esté bien definida para un espacio topológico. Simplemente no sabía que la clase de propiedades topológicas es tan grande, que incluso "homeomorfo a un espacio $X$ " es en sí misma una propiedad topológica, lo que hace que mi pregunta sea trivial.
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¿A qué "propiedades topológicas" se refiere?
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Un poco vago, pero tal vez podrías hacerlo más respondible especificando una clase de propiedades que te interesen, como objetos algebraicos topológicamente invariables asociados al espacio.
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Si dos espacios discretos tienen las mismas "propiedades topológicas", ¿son homeomorfos? ¿Es "tener cardinalidad $\kappa$ "una propiedad topológica, para cada número cardinal $\kappa$ ? ¿Es "ser homeomorfo a $(X,\tau)$ "una propiedad topológica, para cada espacio topológico $(X,\tau)$ ?
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@Jack la propiedad topológica es un término ya definido en matemáticas.
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¿Es "ser homeomorfo al espacio Z?" una propiedad topológica?
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Entonces, ¿la clase de propiedad topológica es demasiado grande como para que esta cuestión no esté bien definida?
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@edm: Según la definición habitual de "propiedad topológica", la pregunta está bien definida pero tiene una respuesta trivial. Para hacer la pregunta más interesante, se puede hacer una de estas dos cosas (y normalmente se necesitan las dos para que sea realmente interesante): restringir la atención a ciertas propiedades topológicas y/o restringir la atención a alguna clase de espacios topológicos (discretos, colectores lisos, compactos de Hausdorff, etc).
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Posiblemente relacionado: math.stackexchange.com/questions/1869275/