Si dos espacios topológicos tienen las mismas propiedades topológicas, ¿son homeomorfos?

Question

Las propiedades topológicas se investigan porque podemos demostrar que dos espacios no son homeomórficos encontrando una propiedad que se cumple en un espacio pero no en el otro. ¿Pero qué pasa si ninguna propiedad topológica puede distinguir dos espacios topológicos? Entonces pregunto:

Si dos espacios topológicos tienen las mismas propiedades topológicas, ¿deben ser homeomórficos?

Editar: En realidad no tengo en mente ninguna clase particular de propiedades topológicas, porque lo que estoy pensando es realmente cada propiedad topológica, siempre que esté bien definida para un espacio topológico. Simplemente no sabía que la clase de propiedades topológicas es tan grande, que incluso "homeomorfo a un espacio $X$ " es en sí misma una propiedad topológica, lo que hace que mi pregunta sea trivial.

Answer 1

Pues suele ser al revés. Una propiedad $P$ de un espacio topológico $X$ merece ser llamado topológico si $P(X)$ se mantiene si y sólo si $P(Y)$ se mantiene siempre que $X$ y $Y$ son homeomórficos. Un ejemplo de propiedad topológica es " $X$ está conectado", mientras que un ejemplo de propiedad no topológica es " $X$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ . Esta última puede convertirse en una propiedad topológica exigiendo en su lugar " $X$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}^n$ ".

Con esta convención, dado un espacio topológico $X$ hay una propiedad topológica inteligente que se puede definir usando $X$ : " $P(Z)$ se mantiene si $Z$ es homeomorfo a $X$ ". Dado que el homeomorfismo es una relación de equivalencia, se trata de una propiedad topológica y claramente $X$ satisface $P$ . Si $Y$ es otro espacio que satisface las mismas propiedades topológicas que $X$ entonces $P(Y)$ debe mantenerse y así $X$ y $Y$ son homeomórficos.

Answer 2

Sí.

Una propiedad topológica de $X$ es la pertenencia a la clase de homeomorfismo (equivalencia) de $X$ .

Answer 3

Para dos espacios topológicos arbitrarios $X$ y $Y$ No hay una buena lista de cosas que se puedan marcar en cada uno de ellos para poder decir que son homeomórficos. Lo único que realmente se puede hacer para demostrar $X$ y $Y$ son homeomorfos es demostrar la existencia de un homeomorfismo.

Por otro lado, hay ciertas clases de espacios topológicos para los que existen clasificaciones completas. Por ejemplo, una variedad compleja unidimensional simplemente conectada $X$ es homeomorfo al plano complejo o a su compactación en un punto, y esto viene determinado por si $X$ es compacto.

Answer 4

Si su definición de "mismas propiedades topológicas" incluye el conocimiento de los homomorfismos entre espacios, entonces esto tiene una respuesta positiva, aunque no requiere ninguna topología. Supongamos que dos espacios $X$ y $Y$ tienen la propiedad de que para todo espacio topológico $A$ uno tiene $Hom (A, X) \cong Hom (A,Y)$ de manera compatible con la composición a lo largo de cualquier homomorfismo $B \rightarrow A$ , es decir, que cada cuadrado de la siguiente forma conmuta:

\begin{array}{ccc}Hom (A,X)& \xrightarrow{} & Hom(A,Y) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Hom (B,X) & \xrightarrow{} & Hom (B,Y)\end{array}

Entonces existe un isomorfismo entre $X$ y $Y$ . La prueba de esto es una aplicación del lema de Yoneda a los funtores $Hom (-,X)$ y $Hom (-,Y)$ y, en particular, trabaja para $Hom (X,-)\cong Hom (Y,-)$ .

Answer 5

La reclamación es la siguiente:

Si dos espacios $X$ y $Y$ no son homeomórficos, entonces se puede encontrar una propiedad que se cumpla en uno de los espacios y no en el otro. El contropositivo de esto es:

Si no se puede encontrar una propiedad que se mantenga en un espacio pero no en el otro, entonces $X$ y $Y$ son homeomórficos. Así que, sí, esta afirmación es cierta.