En un problema dado por un profesor, existe el siguiente problema.
Si $a_n = \frac{1}{n!}$, evaluar $$ D_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a_2 & a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4} & a_{n-5} & \cdots & a_1 & a_0 & 0 \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4} & \cdots & a_2 & a_1 & a_0 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_3 & a_2 & a_1 \end{vmatrix}. $$
Por el primer par de valores de $n$, me di cuenta de que la respuesta es, probablemente,$D_n=a_n=\frac{1}{n!}$, pero tengo problemas para probar esto. He probado con la inducción.
Caso $n=1$ es obvia.
Suponemos que $D_n=a_n$ es cierto para todos los $n$$k$. Sólo tenemos que demostrar que la declaración tiene por $n=k$ ahora.
Mediante el uso de Laplace con la fórmula de la primera fila (y tener suerte de que $a_0=1$), obtenemos $$ \begin{eqnarray} D_k & = & a_1D_{k-1} - a_0\Big( a_2D_{k-2} - a_0\big( \cdots a_0\left( a_{n-1}D_1 - a_0a_n \right) \cdots \big) \Big) \\ & = & \frac1{1!}\frac1{(k-1)!} - \frac1{2!}\frac1{(k-2)!} + \cdots + (-1)^{k-2} \frac1{(k-1)!}\frac1{1!} + (-1)^{k-1}\frac1{k!} .\end{eqnarray}$$ Para los desiguales $k$, las cosas son obvias. El otro caso es cuando las cosas rápidamente salir de mi mano.
Para $k=2l$ obtenemos $$ D_{2l} = 2\sum_{j=1}^{l-1}\frac1{j!\cdot(2l-j)!} + (-1)^{l+1}\left(\frac{1}{l!}\right)^2. $$
No sólo que tengo otros dos casos incluso irregular e $l$ (y tengo un mal presentimiento, esto puede continuar por un tiempo), también tengo ni idea de cómo acercarse a la suma.
Hay una manera más fácil? Dudo que yo estoy en el camino correcto aquí (al menos para incluso $k$).
