Existe una progresión aritmética no constante formada únicamente por números naturales; ninguno de ellos contiene el dígito $9$ . Demostrar que tal progresión aritmética no tiene más de $72$ condiciones.
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Roger Hoover
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Tenemos una secuencia $a_n = b+ns$ donde llamamos $b$ el "elemento base" y $s$ el paso. Observamos en primer lugar que si $s\equiv 1,3,7,9\pmod{10}$ las diez clases de residuos $\pmod{10}$ están cubiertos por $a_0,\ldots,a_9$ por lo que la secuencia no puede evitar el dígito $9$ durante más de $9$ términos. Por una razón similar, no podemos tener $s\equiv 2,4,6,8\pmod{10}$ ya que de lo contrario caemos en una de las clases de residuos $90+[0,9]\pmod{100}$ antes del $45$ ª legislatura. Si $s\equiv 0\pmod{10}$ Por lo tanto $s=10s'$ los dígitos representados por la secuencia, salvo el último que es constante, son los mismos que los dígitos representados por la secuencia $a_n' = \lfloor b/10\rfloor + ns'$ . Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $s\equiv 5\pmod{10}$ . Si ahora nos centramos en la secuencia $b_n=a_{2n}$ podemos deducir fácilmente que $s\equiv 25\pmod{100}$ de la misma forma que en el caso anterior. Centrándonos ahora en $c_n = a_{4n}$ es fácil comprobar que, para evitar las clases de residuos $900+[0,99]\pmod{1000}$ en la primera $40$ términos, las únicas posibilidades son $s\equiv 125,625\pmod{1000}$ . Ahora es simplemente tedioso, centrándose en $d_n=a_{8n}$ para comprobar que incluso tales secuencias no pueden evitar las clases de residuos $9000+[0,999]\pmod{10^4}$ durante más de $72$ términos, por lo tanto hemos terminado.
Leen Droogendijk
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Ésta es sólo una solución parcial. Pensé que podría ampliarla a una solución completa, pero fracasé. El argumento puede ser instructivo, y podría poner a alguien más sobre la pista, así que lo dejaré aquí.
Cubrimos el caso en que la progresión aritmética empieza por 0, por lo que nuestra secuencia es $0,x,2x,\ldots$ . Supongamos que $x$ tiene $k$ dígitos decimales. Si contamos en múltiplos de $x$ no hay manera de que podamos saltarnos el toda la gama de $[9\cdot 10^{k+1},10^{k+2})$ pero si queremos una aritmética progresión aritmética de más de 10 términos que evite el 9, entonces debemos saltarnos claramente el rango completo $[9\cdot 10^k,10^{k+1})$ .
Esto nos da el requisito de que tenemos que encontrar un número de un dígito $b$ tal que $bx\geq10^{k+1}$ y $(b-1)x<9\cdot 10^k$ .
Demostraremos que $b=9$ no puede funcionar y que $b=8$ nos da exactamente lo que queremos. Los valores más pequeños no son interesantes: por ejemplo, si $b=7$ esto implicaría que $60x<90\cdot 10^k$ y $70x\geq 10^{k+2}$ por lo que obtenemos límites más pequeños.
En $b=9$ obtenemos $9x\geq10^{k+1}$ y $8x<9\cdot 10^k$ .
$9x\geq10^{k+1}$ implica $8x\geq\frac{80}{9}\cdot 10^k$ , así que $\frac{80}{9}\cdot 10^k\leq 8x<9\cdot 10^k$ . Esto implica que ya $8x$ contiene un 9 (escriba la expansión decimal de $\frac{80}{9}$ y darse cuenta de que no es un entero), que no es lo que buscamos.
En $b=8$ obtenemos $8x\geq10^{k+1}$ y $7x<9\cdot 10^k$ .
$8x\geq10^{k+1}$ implica que $x\geq\frac54\cdot 10^k$ . Pero entonces $72x\geq 90\cdot10^k$ por lo que nuestra secuencia puede tener como máximo 72 términos (nótese que empezamos con 0). El caso $x=125$ muestra que este resultado es agudo.
