¿Por qué las reglas de diferenciación/integración son las que son?

Question

Así que entiendo qué reglas se utilizan donde, y las formas generales de las reglas como:

$$\left(\frac{d}{dx}\right)^nx^k=\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}$$

Mi pregunta es ¿por qué son estas las fórmulas que nos dan las respuestas que queremos? Aprendí las integrales y las derivadas utilizando el método del límite a medida que las subdivisiones se hacían más y más pequeñas, pero no tengo una buena comprensión conceptual de la manipulación geométrica que tiene lugar y que permite que la regla anterior nos dé (pendientes/áreas) de las curvas exponenciales.

Por ejemplo, aprendí que cuando integras estás encontrando un montón de rectángulos de área infinitesimal bajo la curva

$$dA=h*dx$$

donde la altura era la distancia del eje x a la curva

$$h=f(x)$$

por lo que obtenemos

$$dA=f(x)dx$$

y luego para pasar de un área infinitesimal a toda el área se integra para obtener

$$A=F(x)$$

Ahora desde aquí, si

$$f(x)=x$$

entonces

$$F(x)=\int{x}dx=\frac{x^2}{2}+C$$

Y mi pregunta es ¿por qué cambiando el exponente de la curva de esta manera (añadir uno, dividir por el nuevo exponente) nos da el área geométrica bajo la curva?

Answer 1

El teorema fundamental del cálculo dice $\frac{d}{dx}\int_a^x f(u)\,{\rm d}u=f(a)$ . Esto tiene sentido porque los cocientes limitantes $\frac{1}{h} \int_a^{a+h}f(u)\,{\rm d}u$ son la media de $f(u)$ en el intervalo $[a,a+h]$ que se acercará a $f(a)$ como $h\to0^+$ . Por supuesto, se pueden dibujar rectángulos para delimitar el área (suponiendo que $f>0$ para simplificar) entre $a\cdot \min_{a\le u\le a+h}f(u)$ y $a\cdot\max_{a\le u\le a+h}f(u)$ .

Así que el problema de por qué $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ puede convertirse de una de integración a una de diferenciación; el problema entonces es por qué $(x^n)'=nx^{n-1}$ (digamos que para $n\ge0$ ).

El gráfico de $y=x^n$ no es la única manera de pensar en la función $x^n$ . En cambio, considérelo como el tamaño de un hipercubo con longitud de lado $x$ . Visualícelo con $n=3$ ya que es lo más fácil. Si ampliamos la longitud del lado a $x+h$ Hemos añadido unos cuantos "paneles" a las caras del cubo orientadas hacia el eje positivo que tienen un grosor $h$ y el área $x^2$ . Además hay pequeños bordes que tienen las dimensiones $h\times h\times x$ y las esquinas de las dimensiones $h\times h\times h$ . Al calcular la diferencia de volumen entre el cubo de lado $x$ y el cubo de lado $x+h$ Los bordes y las esquinas se desvanecerán porque tienen las dimensiones incorrectas, pero los paneles de la cara, de los cuales hay tres (uno para cada dirección del eje positivo) tienen las dimensiones correctas y nos dicen que la derivada será $3x^2$ . Lo mismo ocurre con las dimensiones superiores $n$ .

En cuanto a $n<0$ Quizás haya que hacer más ajustes. Se puede justificar visualmente la regla del producto para funciones de valor positivo (de nuevo para simplificar) utilizando el mismo tipo de argumento con rectángulos y dimensionalidad (reflejando el álgebra que se expande $(u+\Delta u)(v+\Delta v)$ en los términos pertinentes y haciendo $\Delta x\to0$ ) y luego aplicarlo a $1=x^n\cdot x^{-n}$ para calcular indirectamente la derivada $(x^{-n})'$ al menos con cierta inspiración geométrica.