¿Es la verdadera declaración siguiente en $L^0$ espacios?

Question

Que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ser un espacio de probabilidad. Que $X,Y\in L^0(\Omega;\mathbb{R})$ dos variables al azar tomando valores en $\mathbb{R}$. Es cierto que: $$\int{A} f(X(\omega)) P(d\omega) = \int{A} f(Y(\omega)) dP(\omega)$ $ % los $A\in \mathcal{F}$y todos Lipschitz continuo funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ %#% $ #% en otros notación esto es como decir: $$X=Y, \quad P-a.s.?$ $

¿Podríamos nosotros también relajarse lo a todos $$E[f(X)] = E[f(Y)] \quad \forall f\in Lip(\mathbb{R}) \Rightarrow X=Y,\quad P-a.s.$ continua y acotada (no necesariamente Lipschitz)?

Gracias por la ayuda :)

Answer 1

Bajo la hipótesis más que $(\Omega, \mathcal{F},P)$ es un estándar de la probabilidad de espacio, creo que esto es cierto incluso si restringimos sólo a uno $f$, es decir,$f(x) = x$.

Recordar la Diferenciación de Lebesgue Teorema. Para solicitar que aquí, se asume que $\Omega =[0, 1]$, $\mathcal{F}$ es el completada $\sigma$-álgebra, y $P$ es la medida de Lebesgue. Equivalentemente, podemos suponer que las $(\Omega, \mathcal{F},P)$ mod $0$ isomorfo a ese espacio, que es equivalente a la hipótesis de que el espacio es estándar.

A partir de ahí, tenemos que $$ X(\omega) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\epsilon} \int_{B_\epsilon (\omega)} X dP = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\epsilon} \int_{B_\epsilon (\omega)} Y dP = Y(\omega) $$, donde la primera y la tercera de la igualdad son casi seguramente por cierto diferenciación de Lebesgue, y el segundo por la hipótesis.

Así, con la probabilidad de espacio estándar, esto es cierto, pero para los más inusuales situaciones, usted necesita alguna manera de obtener a partir de las integrales a los valores de la función, y la Diferenciación de Lebesgue es el único método para hacer eso que soy consciente de.