Demostrar que $\int\limits_0^{\infty}\frac {dt}te^{\cos t}\sin\sin t=\frac {\pi}2(e-1)$

Question

¿Cómo se demuestra que

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t}\,\mathrm{e}^{\cos\left(t\right)}\, \sin\left(\sin\left(t\right)\right) = \frac{\pi}{2}\,\left(\,\mathrm{e} - 1\right)$$

He conseguido que el lado izquierdo sea igual a la parte imaginaria de $$I=\int\limits_0^{\infty}\frac {dt}te^{e^{it}}$$ Pero no estoy muy seguro de qué hacer a continuación. Estoy pensando en un sustituto $t\mapsto e^{it}$ pero no estoy muy seguro de cómo evaluar el límite como $t\to\infty$ . También intenté la integración del contorno, pero no sé exactamente qué contorno dibujar.

Answer 1

$$e^{\cos t}\sin\sin t=\text{Im}\exp\left(e^{it}\right)=\text{Im}\sum_{n\geq 0}\frac{e^{nit}}{n!}=\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(nt)}{n!} $$ y como para cualquier $a>0$ tenemos $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(at)}{t}\,dt=\frac{\pi}{2}$ se deduce que $$\int_{0}^{+\infty}e^{\cos t}\sin\sin t\frac{dt}{t} = \frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n!}=\frac{\pi}{2}(e-1), $$ bastante simple.

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Tengo una contrapropuesta: $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+\infty}\left(e^{\cos t}\sin\sin t\right)^2\frac{dt}{t^2} &=&\frac{\pi}{2}\sum_{m,n\geq 1}\frac{\min(m,n)}{m!n!}\\&=&-\frac{\pi}{2}I_1(2)+\pi e(e-1)-2\pi e\int_{0}^{1}I_1(2x)e^{-x^2}\,dx. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Esta es una manera de utilizar la integración de contornos. Primero consideramos un contorno semicircular indentado en la mitad superior del plano complejo.

Como no hay residuos dentro del contorno, podemos escribir

$$\int\limits_{\epsilon}^{R}dx\, f(x)+\int\limits_{\Gamma_{R}}dz\, f(z)-\int\limits_{\epsilon}^{R}dy\,\frac {e^{e^{-y}}}y+\int\limits_{\gamma_{\epsilon}}dz\, f(z)=0$$

donde

$$f(z)=\frac {e^{e^{iz}}}z$$

Se puede demostrar que como $\epsilon\to0$ y $R\to\infty$ las integrales de arco se convierten en $$\int\limits_{\Gamma_{R}}dz\, f(z)=\frac {\pi i}2$$$$ \N - límites_{{gamma_{epsilon}}dz, f(z)=-\frac {e\pi i}2$$

Si lo ponemos todo junto, vemos que $$\int\limits_0^{\infty}dx\,\frac {e^{\cos x}}x(\cos\sin x+i\sin\sin x)x-\int\limits_0^{\infty}dy\,\frac {e^{e^{-y}}}y=\frac {\pi i}2(e-1)$$

Se toma la parte imaginaria de la primera integral y se establece la identidad.