Ayuda para encontrar un formulario cerrado

Question

Tengo la siguiente función: $$\frac{2e^x}{e^{2x}+1+2x}=\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n\frac{x^n}{n!}$$

Me gustaría encontrar una forma cerrada para la $\varepsilon_k$. Una cosa que sí sé es que el $\varepsilon_n$ satisfacer la siguiente relación de recurrencia:

$$\varepsilon_n=1-2n\varepsilon_{n-1}-\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n}{k}2^{n-k-1}\varepsilon_k$$

Los primeros 11 números son los siguientes:

$$1,-1,3,-15,93,-725,6815, -74627, 933849, -13148361, 205690779$$

He intentado lentamente conectar pequeños valores de $n$, la expansión de la recurrencia de la relación y, a continuación, condensación de nuevo a algo más pequeño. Yo trato de encontrar patrones, a continuación, entre los sumandos y productos, pero este método es muy largo y tedioso, y el tamaño de los sumandos se expande rápidamente. ¿Cuáles son algunos de los métodos han sido utilizados para el cerrado de formas similares a este y cómo puedo mejor enfoque en el problema?

Answer 1

PS

$$\varepsilon_n=n![x^n]\left(\frac{2e^{x}}{e^{2x}+1+2x}\right)$ $$$=n![x^n]\left(\frac{2e^{x}}{e^{2x}-1+2+2x}\right)$ $

PS

$$=n![x^n]\left(\frac{\frac{2e^{x}}{2+2x}}{1-\frac{1-e^{2x}}{2+2x}}\right)$ $$$=n![x^n]\left(\left(\frac{2e^{x}}{2(1+x)}\right)\sum_{r=0}^{\infty}\left(\frac{1-e^{2x}}{2(1+x)}\right)^{r}\right)$ $

PS

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