$(ab)^n = a^{n}b^{n}$ en un anillo unitario $A$ implica A conmutativa?

Question

Esta es mi pregunta: Dejemos que $n\in\mathbb{N}$ y $A$ sea un anillo unitario tal que para todo $a, b\in A$ tenemos $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$ . ¿Para qué valor de n podemos afirmar que A es conmutativo?

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Para $n = 2$ , he sustituido $a$ por $a + 1$ en la identidad, entonces $b$ por $b + 1$ en la nueva identidad obtenida para deducir $A$ conmutativa. No sé si el mismo método funciona para casos generales

Answer 1

Podemos afirmar que $A$ es conmutativo cuando $n=2$ . Supongamos que $(ab)^2=a^2b^2$ para cualquier $a,b\in A$ . Entonces $$ a[a,b]b=a(ab-ba)b=a^2b^2-(ab)^2=0 $$ para cualquier $a,b\in A$ . Por lo tanto, $$ a[a,b]=a[a,b](b+1)-a[a,b]b=a[a,b+1](b+1)-a[a,b]b=0 $$ por cada $a,b\in A$ . A su vez, $$ [a,b]=(a+1)[a,b]-a[a,b]=(a+1)[a+1,b]-a[a,b]=0 $$ para cualquier $a,b\in A$ es decir $A$ es conmutativo.

No podemos hacer la misma afirmación cuando $n\ge3$ . Elija cualquier $n\ge3$ . Entonces, o bien $n-1$ o $n$ tiene un factor primo $p>2$ . En otras palabras, debemos tener $n=pk$ o $pk+1$ para algún número primo $p>2$ . Sea $A$ sea el conjunto de todos los $p$ -por- $p$ matrices sobre $GF(p)$ de la forma $xI+M$ para alguna matriz estrictamente triangular superior $M$ . Entonces $(xI+M)^p=x^pI$ . De ello se desprende que \begin{aligned} &[(xI+M)(yI+N)]^p\\ &=[xyI+(xN+yM+MN)]^p\\ &=(xy)^pI\\ &=(x^pI)(y^pI)\\ &=(xI+M)^p(yI+N)^p\\ \end{aligned} por cada $xI+M,\,yI+N\in A$ . En consecuencia, cuando $r\in\{0,1\}$ , \begin{aligned} &[(xI+M)(yI+N)]^{pk+r}\\ &=[(xI+M)(yI+N)]^{pk}[(xI+M)(yI+N)]^r\\ &=(xy)^{pk}[(xI+M)(yI+N)]^r\\ &=(xI+M)^{pk}(xI+M)^r(yI+N)^r(yI+N)^{pk}\\ &=(xI+M)^{pk+r}(yI+N)^{pk+r}. \end{aligned} Por lo tanto, hemos expuesto un anillo $A$ tal que $(ab)^n=a^nb^n$ siempre que $a,b\in A$ . Sin embargo, como $p>2$ tenemos $MN\ne NM$ en general (como cuando $M=E_{12}$ y $N=E_{23}$ ). Por lo tanto, nuestro ejemplo $A$ no es conmutativo.