¿Lema de Neyman-Pearson se puede aplicar a lo casos al simple don nula y alternativa ' t pertenecen a la misma familia de distribuciones?

Question

1. Puede el lema de Neyman-Pearson se aplican al caso en el que un simple nulo y una alternativa sencilla que no pertenecen a la misma familia de las distribuciones? A partir de su prueba, no veo por qué no se puede.

   Por ejemplo, cuando el simple null es una distribución normal, y la alternativa simple es una distribución exponencial.

2. Es la prueba de razón de verosimilitud una buena manera de probar un compuesto null contra un compuesto alternativa cuando ambos pertenecen a diferentes familias de las distribuciones?

Gracias y saludos!

Answer 1

Sí Neyman Pearson Lexema puede aplicar para el caso, cuando una simple nula y alternativa sencilla que no pertenecen a la misma familia de distribuciones.

Vamos que se desea construir una Más Potente(MP) de la prueba de $H_0:X\sim N(0,1)$ contra $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$ de su tamaño.

Para un determinado $k$, nuestra función crítica por Neyman Pearson lema es

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$

es un MP prueba de $H_0$ contra $H_1$ de su tamaño.

Aquí $$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$$

Tenga en cuenta que $$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$$ Ahora si se dibuja la imagen de $r(x)$ [no sé cómo construir una Imagen en la respuesta ], en el gráfico quedará claro que $r(x)>k \implies x>c $.

Así, por un particualr $c$
$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$ es un MP prueba de $H_o$ contra $H_1$ de su tamaño.

Usted puede probar

• 1. $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ contra $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  2. $H_0:X\sim N(0,1)$ contra $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  3. $H_0:X\sim N(0,1)$ contra $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Por Neyman Pearson lema.

Normalmente la probabilidad de la ración de la prueba(LRT) no es una buena manera de que los compuestos de null y compuesto alternativa que pertenecen a la familia de distribuciones.La LRT es especialmente útil cuando se $\mathbb{\theta}$ es un multi-parámetro y queremos poner a prueba hipótesis acerca de uno de los parámetros.

Eso es todo de mí.

Answer 2

Q2. El cociente de probabilidad de una estadística de prueba lo suficientemente sensible, pero (a) el lema de Neyman-Pearson no se aplica a hipótesis compuestas, por lo que la LRT no será necesariamente más poderoso; y Teorema (b) Wilks' sólo es aplicable a hipótesis anidadas, así a menos que una familia es un caso especial de lo otros (por ejemplo exponencial/Weibull, Poisson/negativa binomial) no sé la distribución de la razón de verosimilitud bajo el null, incluso asintóticamente.

Answer 3

1. Usted está exactamente correcto. La imagen general es: queremos un estadístico de prueba que nos da la máxima potencia en un determinado nivel de significación $\alpha$. En otras palabras, una manera de calcular un valor de $\phi$, de modo que los puntos de la parte del espacio de parámetros para que $\phi$ supera su $\alpha^\mathrm{th}$ cuantil en $H_0$ tener el menor peso posible en $H_1$. El lema de Neyman-Pearson muestra que esa estadística es la razón de verosimilitud.

2. Neyman y Pearson original en papel también se describen compuestos de hipótesis. En algunos casos, la respuesta es sencilla-si es que hay una elección particular de las distribuciones en cada familia cuyo cociente de probabilidad es conservador cuando se aplica la toda la familia. Esto es lo que sucede a menudo, por ejemplo, para anidada hipótesis. Es fácil para que esto no suceda, sin embargo; este papel por la Cox explica qué hacer más. Creo que un enfoque más moderno, en este caso sería el enfoque en un Bayesiano modo, poniendo priores más de las dos familias.