La prueba de que $\exp(x+y) = \exp(x)*\exp(y)$ utilizando la definición de límite de $\exp(x)$

Question

Yo quiero probar: $\exp(x+y) = \exp(x)\cdot \exp(y)$ usando la definición: $\exp(x) = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{x}{n})^n$

Estoy teniendo problemas para completar la prueba, pero aquí está mi idea hasta ahora: $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \cdot \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{y}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \cdot \left(1+\frac{y}{n}\right)^n \right) $$

Ahora puedo cambiar el orden de la última expresión: $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x+y+\frac{xy}{n}}{n}\right)^n $$

Desde aquí mi idea es de alguna forma demostrar que este límite es igual a $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n = \exp(x+y)$$ usando el Teorema del sándwich y tal vez de Bernoulli de la Desigualdad, pero estoy en una pérdida en cuanto a exactamente cómo hacerlo. Te agradecería tu ayuda.

Answer 1

Esto es suficiente para mostrar que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}\right)^n}{\left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n}=1 \etiqueta{1} $$ Pero $$ \frac{\left(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}\right)^n}{\left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n}= \left(1+\frac{xy}{n^2(1+\frac{x+y}{n})}\right)^n $$ y como, para la adecuada grandes $n$, decir $n\ge n_0$, tenemos que $$ \frac{1}{2}<1+\frac{x+y}{n}<2, $$ entonces $$ \left(1+\frac{xy}{2n^2}\right)^n<\frac{\left(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}\right)^n}{\left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n}= \left(1+\frac{xy}{n^2(1+\frac{x+y}{n})}\right)^n<\left(1+\frac{2xy}{n^2}\right)^n $$ Ahora, para todos los $z\in\mathbb R$, tenemos $$ \left(1+\frac{z}{n^2}\right)^n=\left(\left(1+\frac{z}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{1/n}\a 1, $$ desde $\left(1+\frac{z}{n^2}\right)^{n^2}\to e^z$.

Así $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{xy}{2n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2xy}{n^2}\right)^n=1, $$ y, por tanto, $(1)$ sostiene.

Answer 2

<span class="math-container">$$ \\dfrac{e^{x+y}}{e^x}=\lim{n\to+\infty}{\Big(\dfrac{1+\frac {x+y} n}{1+\frac x n}\Big) ^ n} = \\lim{n\to+\infty}\Big(\frac{x+y+n}{x+n}\Big) ^ n = \lim {n\to + \infty} \Big (1 + \frac y {x + n} \Big) ^ n = \\lim{n\to+\infty}\frac{\Big(1+\ frac y {x + n} \Big) ^ {n + x}} {\Big (1 + \frac y {x + n} \Big) ^ x} = e ^ y $$</span> porque <span class="math-container">$\lim{n\to+\infty}{\Big(1+\frac y {x+n}\Big)^{n+x}}=e^y$</span> y <span class="math-container">$\lim{n\to+\infty}{\Big(1+\frac y {x+n}\Big)^x}=1$</span>