¿Se recomienda el uso de flechas entre ecuaciones?

Question

En el instituto me dijeron que siempre debía usar flechas para indicar reordenamientos de ecuaciones, como por ejemplo:

\begin {eqnarray} a \left [b+ \frac {c}{d} \right ]&=&a \\ & \Updownarrow & \\ 1- \frac {c}{d}&=&b \end {eqnarray}

Al comenzar mi licenciatura en física, algunos de mis condiscípulos han sugerido que esto es, de hecho, si no un error, al menos no es una buena notación matemática, y que debería escribirse el ejemplo anterior:

\begin {eqnarray} a \left [b+ \frac {c}{d} \right ]&=&a \\ 1- \frac {c}{d}&=&b \end {eqnarray}

Edición: argumentando que no son necesarios, y por lo tanto un desperdicio de símbolos y posiblemente una fuente de distracción.

Mientras que otros han vuelto a sugerir que es correcto, pero sólo si las flechas son de un solo sentido:

\begin {eqnarray} a \left [b+ \frac {c}{d} \right ]&=&a \\ & \Downarrow & \\ 1- \frac {c}{d}&=&b \end {eqnarray}

Edición: argumentando que no se debe dar la impresión de que por ejemplo $F=m a$ se puede demostrar a partir de uno el resultado de los resultados en un ejercicio teórico particular en la mecánica clásica.

Por lo tanto, deseo saber si existe alguna directriz oficial para las flechas entre ecuaciones y, en caso de que sean opcionales, si se recomiendan o no y qué tipos de flechas (unidireccionales o bidireccionales) se recomiendan.

Answer 1

Las flechas indican el flujo de la lógica, lo que significa que la ecuación en la cola de la flecha implica la ecuación en la cabeza de la flecha. Si se utiliza una flecha de doble punta, significa que cada ecuación implica a la otra.

Por ejemplo, los siguientes usos de $\Rightarrow$ y $\Leftrightarrow$ están bien: $$x = 1 ~ \Rightarrow ~ x^2 = 1 \qquad \text{and} \qquad 2x+1 = 5 ~ \Leftrightarrow ~ x=2$$ pero los siguientes usos de $\Rightarrow$ y $\Leftrightarrow$ son no fino $$x = 1 ~ \Leftrightarrow ~ x^2 = 1 \qquad \text{and} \qquad \sin(x) = 0 ~ \Rightarrow ~ x=0$$ La primera falla porque $x^2=1$ implica $x=1$ o $x=-1$ , no necesariamente que $x=1$ la segunda falla porque $\sin(x)=0$ implica que $x=n\pi$ para algunos $n \in \mathbb{Z}$ . La cuestión en ambos casos es que la operación que realizamos (elevar al cuadrado y aplicar la $\sin$ respectivamente) no era invertible.

Así que para responder a tu pregunta sobre si debes usar flechas, mi consejo viene en dos partes:

• Sí ¡Usa flechas! Ayudan a explicar tu flujo de lógica, lo que significa que estás comunicando tus ideas matemáticas de forma más eficaz. Pero...
• ... tenga cuidado ¡! Si estás reordenando ecuaciones entonces normalmente el $\Rightarrow$ dirección es lo que estás haciendo; si quieres ser capaz de invertirlo (es decir, girar el $\Rightarrow$ en un $\Leftrightarrow$ ) entonces tienes que asegurarte de que la operación que haces al convertir una ecuación en la siguiente es una operación invertible.

No conozco a nadie en su sano juicio que piense que escribir una secuencia de ecuaciones sin indicación de flujo lógico es mejor que escribir una secuencia de ecuaciones con una indicación del flujo lógico.

P.D. En tu pregunta preguntas sobre las directrices oficiales, por lo que debo aclarar que no hay ninguna, pero hay ciertas prácticas (por ejemplo, indicar el flujo lógico) que son evidentemente mejores que otras (por ejemplo, no indicar el flujo lógico, o indicar erróneamente el flujo lógico incorrecto).